例 已知数列{an}满足an 1 an
8(n 1)8
，求数列{an}的通项公式。 ，a 122
(2n 1)(2n 3)9
解：由an 1 an
88(n 1)
及，得。。。。。。 a 1
9(2n 1)2(2n 3)2
(2n 1)2 1
由此可猜测an ，往下用数学归纳法证明这个结论。 2
(2n 1)(2 1 1)2 18
（1）当n 1时，a1 ，所以等式成立。 2
(2 1 1)9
(2k 1)2 1
（2）假设当n k时等式成立，即ak ，则当n k 1时， 2
(2k 1)
ak 1 ak
8(k 1)
。。。。。。 22
(2k 1)(2k 3)
由此可知，当n k 1时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何n N都成立。
*
四、数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 1、
等差数列求和公式：Sn
n(a1 an)n(n 1)
na1 d 22
(q 1) na1
n
2、等比数列求和公式：Sn a1(1 q)a1 anq
(q 1)
1 q 1 q
前n个正整数的和 1 2 3 n
n(n 1)
2
n(n 1)(2n 1)
6n(n 1)2
] 前n个正整数的立方和 13 23 33 n3 [2
公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；
前n个正整数的平方和 12 22 32 n2
（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。
例 已知log3x
123n
，求x x x x 的前n项和. log23
Sn
的最大值.
(n 32)Sn 1
例 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)
