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x1(t) 1
t
-1
符号函数频谱
b)阶跃函数频谱
x1(t)=e-atsgn(t)符号函数
ì1t>0
u(t)=í
0t<0î
在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。
解法1：利用符号函数
u(t)=
11
+sgn(t) 22
11æ1ö1é1ùé1ù1
U(f)=F[u(t)]=Fêú+F[sgn(t)]=d(f)+ç-j=(f)-jd÷êú22èpfø2ëpfûë2û2
结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料
之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
|U(f)|
f
单位阶跃信号频谱
解法2：利用冲激函数
(1/2) 0
ì1t>0时
u(t)=òd(t)dt=í
-¥t00时<î
t
根据傅里叶变换的积分特性
t111é1ù
U(f)=Féòd(t)dtù=D(f)+D(0)d(f)=êd(f)-júêúë-¥ûj2pf22ëpfû
