解：设∵∴
在条件中，令y＝－x，则（x）为奇函数，
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f（x）对任意
，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不，即，∵当
，
，∴f（x）为增函数。
，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f
，∴
，
等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设
，∵当
，
即
，∴f（x）为单调增函数。
∵
， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3
。∴
，∴
，则
，∴
2、指数函数型抽象函数
， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在成立。求：
（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数解：（1）令y＝0代入
。若f（x）＝0，则对任意
（2）令y＝x≠0，则
，使得，对任何x和y，
的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。 ，则
，∴
，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
，有
，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，
f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在（1）x＝1时，∵
，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数
，用数学归纳法证明如下：
，结论正确。 ；③f（2）＝4。同
，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴
