Y1 Y2 -1 0 1 -1 0 1
?2/4 ?(1??)/2 (1??)2 ?2/4 ?(1??)/2 ?(1??)/2 ?2/4 ?(1??)/2 ?2/4 P{Y1?Y2}?P{Y1?Y2??1}?P{Y1?Y2?0}?P{Y1?Y2?1}?(1??)2??2/2。
（2）14题中，求出边缘分布律为
X Y 0 1 2 P{X?i} 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 2 0.02 0.06 0.30 0.38 P{Y?j} 0.16 0.34 0.50 1 很显然，P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}，所以X,Y不是相互独立。
23，解：根据题意，X的概率密度为f?10?x?1X(x)???0其他
所以根据独立定，X,Y的联合概率密f(x,y)?f(y)???8y0?x?1,0?y?1/2X(x)fY。 ?0其他1/21P{X?Y}?(x,y)dxdy??dx8ydx?2 x??f?y0?y3
24，解：根据定义立刻得到分布律为 Y 1 2 5 10 pk 1/5 7/30 1/5 11/30
25，解：设X,U的概率密度分别为fX(x),fU(u)，U的分布函数为FU(u)。则 当u?0时，FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?0，fU(u)?0； 当
u?0时，
FU(u)?P{U?u}?P{X?u}?P{?u?X?u}?2?(u)?1?f)??F'2?u2/22U(uU(u)??2fX(u)??e?u2/。所以，f?e2u?0U(u)?????0u?0。
11
度
，
26解：，设X,Y的概率密度分别为fX(x),fY(y)，分布函数分别为FX(x),FY(y)。则 （1）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?0，fY(y)?0；
22当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{X?y}?FX(y)，
fY(y)??FY(y)??2yfX(y2)?2ye?y。
'2??2ye?y所以，fY(y)????0（2）此时fX(x)??2y?0y?0。
?1/2?1?x?1其他?0。
因为FY(y)?P{Y?y}?P{(X?1)/2?y}?P{X?2y?1}?FX(2y?1)， 故，
?10?y?1'fY(y)??FY(y)??2fX(2y?1)?1,?1?2y?1?1，所以，fY(y)??。
其他?0（3）当y?0时，FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{?y?X?y}
??(y)??(?y)?2?(y)?1，
?1e?y/2?'?y/2故， fY(y)??FY(y)??2fX(y)。fY(y)??2?y?e2y2?y?0?227，解：圆面积A??X，设其概率密度和分布函数分别为g(y),G(y)。则
11y?0其他。
G(y)?P{?X2?y}?P{X?y/?}?FX(y/?)， 故
g(y)??G(y)??'12?yf(y/?)?12?y?3y??8??3y??16?y,0?y/??2
?3y???所以，g(y)??16?y?0?0?y?4?其他。
28，解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为
f(x,y)?12??2e?x2?y22?2。
222先求分布函数，当z?0时，FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}
2?z?2x?y?z??2f(x,y)dxdy??d??212??2e?r22?2rdr?1?e?z22?2，
00 12
故，
?z?z2/(2?2)?efZ(z)??FZ(z)????2?0?'z?0其他。
29，解：因为fX(x)?????1/2?1?x?1其他?0z?1，所以Z?X?Y的概率密度为
fZ(z)?30
???fY(y)fX(z?y)dy?根
??11?arctan(z?1)?arctan(z?1)?。 dy?2?2?z?12?(1?y)卷
z据积公式，得
fZ(z)????fY(y)fX(z?y)dy???3ye??zdy?0?32z2e??z，z?0。所以
??32??z?zez?0Z?X?Y的概率密度为fY(y)??2?其他?0
。
?10?x?131解：，因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以fX(x)??其他?0?10?x?1根据卷积公式，fY(y)??其他?0?1z?1??1dy,?z?1?2?z,1?z?2??z??fZ(z)??fY(y)fX(z?y)dy???1dy,0?z?1??z,0?z?1 。
???0?0,其他其他??0,???2?3x????3e/2dy?3e?3x，x?032，解：（1）fX(x)??f(x,y)dy??；
0???0,其他????3x??3e/2dx，0?y?2?1/2，0?y?2??0???fY(y)??f(x,y)dx????。
???0，?0，其他其他????（2）Z?max{X,Y}的分布函数为
，得
FZ(z)?P{Z?z}?P{max{X,Y}?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z)y?0?00,x?0??F(y)?因为 FX(x)??； ?y/20?y?2， Y?3x?1?e,x?0?1y?2? 13
z?0?0,?z?3z,0?z?2。 所以，FZ(z)?FX(z)FY(z)??1?e2??3zz?2?1?e,11?31?3/2（3）P{1/2?Z?1}?FZ(1)?FZ(1/2)??e?e。
424???1?0?x?l33，解：（1）根据题意，随机变量X~U(0,l)，所以概率密度为fX(x)??l。
?其他?0（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为X1,X2，则它们都在(0,l)上服从均匀分布。Y?min{X1,X2}，其分布函数为
yFY(y)?1?1?FX1(y)1?FX2(y)?1?(1?)2,0?y?l，
l?2(l?y)/l2，0?y?l?'所以密度函数为fY(y)??FY(y)???。
?0，其他?????34，解：（1）U?max(X,Y)的分布律为
P{U?k}?P{max(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2,3
如，P{U?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}
?1/8?1/20?0?1/24?1/40?29/120，
其余类似。结果写成表格形式为 U pk 0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）V?min(X,Y)的分布律为 P{V?k}?P{min(X,Y)?k}?P{X?k,Y?k}?P{Y?k,X?k},k?0,1,2 如，P{V?2}?P{X?2,Y?2}?P{Y?2,X?2}?0?0?0，
其余类似。结果写成表格形式为 U pk 0 1 27/40 13/40 k（3）W?X?Y的分布律为 P{W?k}?P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i},k?0,1,2,3,4,5
i?0如，P{W?2}??P{X?i,Y?2?i}?1/24?1/4?1/8?5/12，
i?02其余类似。结果写成表格形式为 W pk
0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12
第3章 随机变量的数字特征
1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，
6，7，7。所以分布律为
14
X pk 4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5 1E(X)?(4?5?6?7?7)?29/5.
52，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取
到。分布律为
Y pk 4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 E(Y)?1(4?4?5?5?6?6?7?14)?175/29. 2931221C10C2C10C2C10691， 。 p0?3?， p1??p??2332222C1211C12C123，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
E?6911?0??1??2?(台)。 11222224，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一
次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为 Y pk 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 11111111111 666663636363636361149(1?2?3?4?5)?(7?8?9?10?11?12)?(点)。 63612得分的数学期望为
E?5，解：（1）根据X~?(?)，可得P{X?5}??5e??5!??6e??6!?P{X?6}，因此计算得
到??6，即X~?(6)。所以E(X)=6。（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
E(X)??(?1)k?1??k?1kP{X?k}??(?1)k?1?n??k?166k22?2?k??(?1)k?1k?1??16ln2?， 2k?xn,?1?x?1）因此期望存在。（利用了ln(1?x)??(?1)（不符书上答案） n?1n?06，解：（1）一天的平均耗水量为
x2e?x/3x2E(X)??xf(x)dx??dx???d(e?x/3)?0?93??00??????????2xe?x/3dx???2xd(e?x/3)?300?? ?0??x/32edx?6（百万升）。 ?0 15
