第1章 随机变量及其概率
1.解：（1）S?{2,3,4,5,6,7}；（2）S?{2,3,4,?}；（3）S?{H,TH,TTH,TTTH,?} （4）S?{HH,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6}。
2.解：P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.625，
P(AB)?P[(S?A)B]?P(B)?P(AB)?0.375， P(AB)?1?P(AB)?0.875，
___P[(A?B)(AB)]?P[(A?B)(S?AB)]?P(A?B)?P[(A?B)(AB)]?0.625?P(AB)?0.53.解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8?9?9?648，
648所以所求得概率为?0.72
9004解：.仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有
（1）该数是奇数的可能个数为4?4?3?48个，所以出现奇数的概率为5?5?4?100个。
48?0.48 100（2）该数大于330的可能个数为2?4?5?4?5?4?48，所以该数大于330的概率为48?0.48 10011C52C4C385. 解：（1）所求概率为；（2） 所求概率为?433C1222314C4C8?C4C8?C420167； ??4495165C124C7357（3）所求概率为4?。 ?C12495165___6，解：根据题意，n(n?M)张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有Mn种，某一
kn?k特定的销售点得到k(k?n)张提货单的可能分法有Cn(M?1)种，所以某一特定的销售
kCn(M?1)n?k点得到k(k?n)张提货单的概率为。 nM
7解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，
231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以
（1）至少有1只配对的概率为1?为
12?。 （2）没有配对的概率3321?； 638，解：（1）由题意可得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7，所以
P(A|B)?
P(AB)0.11P(AB)0.11??， P(B|A)???，
P(B)0.33P(A)0.551
P(A|A?B)?P[A(A?B)]P(A)5??P(A?B)P(A?B)7,
P(AB|A?B)?P[AB(A?B)]P(AB)1P[A(AB)]P(AB)??P(A|AB)???1P(A?B)P(A?B)7P(AB)P(AB)（2）设Ai(i?1,2,3,4)表示“第i次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为A1A2A3A4，它的概率为（根据乘法公式）
P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)
?6754840?????0.0408。 11121312205929解：.设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只也是红球”记为事件
22215B。则事件A的概率为P(A)?2?????（先红后白，先白后红，先红后红）
4343621?P(AB)431?? 所求概率为P(B|A)?5P(A)5610解：，（1）根据题意可得 P(A)?P(AB)?P(AB)?5%?45%?50%；
P(B)?P(BA)?P(BA)?5%?10%?15%；
（2）根据条件概率公式：P(B|A)?P(AB)5%??0.1；
P(A)50%（3）P(B|A)?P(BA)10%P(AB)45%9??0.2；??； （4）P(A|B)?P(A)1?50%P(B)1?15（5）P(A|B)?P(AB)5%1??。
P(B)1511，解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为
111111C2C2C3C1C3C12231313611???????；或者。 ?61110987633264092409240A1112，解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为1?20%?30%?10%?40%；
2
（2）至少有一种症状的概率为1?40%?60%；
（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为
10%1?。
30%?10A3，解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件Ai(i?1,2,3,4)，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.4?0.9998?0.3?0.9999?0.1?0.9997?0.2?0.9996
i?14 =0.99978
14解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有
P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?10%?85%?90%?4%?12.1%，所以，根据条件概率得到所要求的概率为 P(B|A)?P(BA)P(B)P(A|B)10%(1?85%)???17.06%
P(A)1?P(A)1?12.1%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
15解：，设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上
打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有 P(M)??P(N)P(M|N)?0.6?0.01?0.3?0.05?0.1?0.04?0.025，
iii?13根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
P(N1)P(M|N1)0.6?0.01??0.24，
P(M)0.025P(N2)P(M|N2)0.3?0.05P(N2|M)???0.60，
P(M)0.025P(N3)P(M|N3)0.1?0.04P(N3|M)???0.16。
P(M)0.02516，解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信的”记为事件B。
P(N1|M)?根据Bayes公式，所要求的概率为
P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B)95%?1???99.9947%P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)95%?1?5%?0.1，解：根据题意，求出以下概率为
111111， P(C)?????； 222222111111111P(AB)???， P(BC)?P(CA)???，P(ABC)???。
224224224P(A)?P(B)?所以有P(AB)?P(A)P(B)，P(AC)?P(A)P(C)，P(BC)?P(B)P(C)。
3
表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是P(ABC)?P(A)P(B)P(C)所以A,B,C不是相互独立。
18解：设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i?1,2,3)。
（1）设恰有一人进球的概率为p1，则p1?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3} ?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) （由独立性） ?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.4?0.5?0.3?0.6 ?0.29
（2）设恰有二人进球的概率为p2，则p2?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3} ?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) （由独立性） ?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.3?0.6?0.44 （3）设至少有一人进球的概率为p3，则
p3?1?P{N1N2N3}?1?P(N1)P(N2)P(N3)?1?0.5?0.3?0.4?0.94。
19，解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4；第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24； 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144；第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864；
所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704
20，解：设“元件i能够正常工作”记为事件Ai(i?1,2,3,4,5)。
那么系统的可靠性为P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5) ?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)
?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)?p2?p?p2?p3?p4?p3?p5?p?2p2?2p3?p4?p5 21，解：设“一产品真含有杂质”记为事件A，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B)，根
据Bayes公式可得
P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)
又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有P(A)?0.4，而且P(C|A)?0.8，P(C|A)?0.9，所以P(B|A)?C23?0.82?(1?0.8)?0.384； P(B|A)?C23?(1?0.9)2?0.9?0.027故，
P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.4?0.3840.4?0.384?0.6?0.027?0.15360.1698?0.9046 4
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第二章 随机变量及其分布
k?11，解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k?1个人都不是A型血，因此有P{Y?k}?0.4?(1?0.4)?0.4?0.6k?1， （k?1,2,3,?）
上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。 2，解：X只能取值0，1，2。设以Ai(i?1,2,3)记第i个阀门没有打开这一事件。则
P{X?0}?P{A1(A2?A3)}?P{(A1A2)?(A1A3)}
?P{A1A2}?P{A1A3}?P{A1A2A3}?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?(1?0.8)2?(1?0.8)2?(1?0.8)3?0.072，
3类似有P{X?2}?P{A1(A2A3)}?P(A1A2A3)?0.8?0.512，
P{X?1}?1?P{X?0}?P{X?2}?0.416,综上所述，可得分布律为
X 0 0.072 1 0.512 2 0.416 P{X?k} 3,解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
kP(X?k)?C15?0.2k?0.815?k,k?0,1,2,?15。
3?3)?C15?0.23?0.812?0.2501,
（2）P(X?2)?1?P(X?1)?P(X?0)?0.8329；
（3）P(1?X?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?0.6129； （4）P(X?5)?1?P(X?5)?P(X?4)?P(X?3)?P(X?2)
（1）P(X?P(X?1)?P(X?0)?0.0611
4解：，对于3/5[G]系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为
kk5?kP(X?k)?C?0.9?0.1?0.99144??5k?3k?355
5，解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以
kP(X?7)?P(X?6)??C80000.001k?0.9998000?kk?066(8000?0.001)ke?8000?0.0018ke?8?????0.3134（查表得）。
k!k!k?0k?066，解：（1）P{X?15}?1?P{X?15}?1?0.9513?0.0487；（2）根据
P{X?0}?1?P{X?0}?1?e???0.5，得到??ln2。所以
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