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第六章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法主要内容 6.1引言 6.2用信号流图表示网络结构 6.3无限冲击响应基本网络结构 6.4有限冲击响应基本网络结构 6.5状态变量分析法 6.6结束语
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6.1引言(1)离散系统或网络的表示:差分方程，系统函数及脉冲响应。y (n)=∑ ai y (n i)+∑ bi x(n i)i=1 i=0 N M
Y ( z) H ( z)== X ( z)
∑b zk=0 N k k=1
M
k
1 ∑ ak z
或h(n) k
离散系统是数字信号处理算法：差分方程是一种直接算法。系统函数及脉冲响应就不明显。用网络结构表示算法。 (2)为什么要研究网络结构一个差分方程表示的离散系统有许多不同的网络结构或算法。不同算法的运算误差、运算速度以及系统复杂性和成本不同。网络结构表示的运算过程清楚，容易研究网络结构特点或算法性能。1 0.8 z 1+ 0.15 z 2 2.5 1.5 H 2 ( z)=+ 1 1 0.3 z 1 0.5 z 1 1 1 H 3 ( z)= 1 0.3z 1 1 0.5 z 1可证明：H 3 ( z )= H 2 ( z )= H 1 ( z ) H1 ( z )= 1
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6.2用信号流图表示网络结构(1)(1)数字信号处理中的三种基本算法a x(n) ax(n) x1(n) x2(n) x1(n)+ x2(n) x(n) z-1 x(n-1)
a x(n) ax(n)
x1(n) x2(n)
x1(n)+ x2(n) x(n)
z-1 x(n-1)
三种基本运算的流图
支路：线段。支路增益。节点：圆点。输入输出节点x(n) y(n)。节点变量：和。 (2)基本信号流图：决定一种确定算法。 b0 b1①支路是基本的：支路增益是常数或z-1。 -1 w’2 w2 w1 z②流图环路中必须存在延迟支路。 -1 y(n) z x(n) b2③节点和支路数目有限。 -a1 w1 (n)= w2 (n 1) w (n)= w' (n 1) 2 2 w' 2 (n)= x(n) a1 w2 (n) a 2 w1 (n) y (n)= b2 w1 (n)+ b1w2 (n)+ b0 w' 2 (n) -a2 H(z)
x(n)
y(n)
(3)要求①画基本信号流图；②确定系统函数；③掌握各种网络结构的特点和算法性能。
基本信号流图和非基本信号流图
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6.2用信号流图表示网络结构(2)(4)由信号流图求系统函数：列出节点变量方程；求解方程，推导输入输出关系。 w1 (n)= w2 (n 1) w (n)= w' (n 1) 2 2节点变量方程： w'2 (n)= x(n) a1w2 (n) a2 w1 (n) y (n)= b2 w1 (n)+ b1w2 (n)+ b0 w'2 (n) W1 ( z )= W2 ( z ) z 1 1 W进行z变换： 2 ( z )= w' 2 ( z ) z W ' 2 ( z )= X ( z ) a1W2 ( z ) a 2W1 ( z ) Y ( z )= b W ( z )+ b W ( z )+ b W ' ( z ) 2 1 1 2 0 2 Y ( z ) b0+ b1 z 1+ b2 z 2联立求解: H ( z )== X ( z ) 1+ a1 z 1+ a 2 z 2
差分方程: y (n)= ∑ ai y (n i)+∑ bi x(n i )i=1 i=0
2
2
(5)离散系统分类(按性质)无限冲击响应系统(IIR:Infinite Impulse Response),h(n)无限长。有限冲击响应系统(FIR:Finite Impulse Response),h(n)有限长。注意：IIR用递归结构实现(存在
反馈支路或环路)。FIR可用递归结构和非递归结构实现(无反馈支路)。
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6.3无限冲击响应基本网络结构(1)IIR系统的3种基本网络结构：直接型、级联型、并联型 (1)直接型画信号流图：由系统函数求差分方程；画信号流图；结构优化。H ( z)=k=0 N
∑ bk z kk=1
M
1 ∑ a k z k
y (n)=∑ ai y (n i)+∑ bi x(n i)i=1 i=0
N
M
x(n) z-1 z-1
b0 b1 b2 H1(z) a) -a1 -a2 H2(z)
y(n) z-1 z-1
x(n) -a1 -a2 H2(z) b) z-1 z-1
b0 z-1 z-1
y(n)
x(n) -a1 -a2 z-1 z-1
b0 b1 b2
y(n)
b1 b2 H1(z)
H(z) c)
IIR网络的直接型结构
特点：阶次高，反馈强，运算误差积累大。
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6.3无限冲击响应基本网络结构(2)(2)级联型因式分解：H ( z )=k=0 N
∑ bk zk=1
M
k
= A
∏ (1 ci z 1 )∏ (1 d i z 1 )i=1 i=1 N
M
1 ∑ a k z k实数零极点形成一阶网络：H j ( z )=
, A是常数，ci是零点，d i是极点。
β 0 j+β1 j z 11 α1 j z 1
共轭零极点合并成二阶网络：H j ( z )=
β 0 j+β1 j z 1+β 2 j z 21 α1 j z 1 α 2 j z 2
,β 0 j、β1 j、β 2 j、α1 j、β 2 j实数。
IIR系统分解成一阶、二阶网络的级联形式：H ( z )= H 1 ( z ) H 2 ( z )...H k ( z )x(n) Aα11 z-1β01β11α12α22 H1(z) IIR网络的级联型结构 z-1 z-1
β02β12β22
y(n)
H2(z)
特点：调整容易，一阶网络决定1个零极点，二阶网络决定一对零极点；阶次低，反馈弱，运算误差积累相对直接型小。
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6.3无限冲击响应基本网络结构(3)(3)并联型将级联形式部分分式展开就是并联型： H ( z )= H 1 ( z )+H 2 ( z )+...+H k ( z ),其中 H j ( z )是一阶或二阶网络。
一阶网络：H j ( z )=二阶网络：H j ( z )=
β 0 j+β1 j z 11 α1 j z 1
β 0 j+β1 j z 1+β 2 j z 21 α1 j z 1 α 2 j z 2
,β 0 j、β1 j、β 2 j、α1 j、β 2 j实数。
并联型网络输出：Y ( z )= H 1 ( z ) X ( z )+H 2 ( z ) X ( z )+...+H k ( z ) X ( z )A x(n)α11 z-1β01β11β02α12α22 z z-1
y(n)
β12-1
β22
IIR网络的并联型结构
特点：调整容易，一阶网络决定1个极点，二阶网络决定一对极点；阶次低，各并联网络互不影响，运算误差积累很小；同时对输入信号结算，运算速度高。
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6.4有限冲击响应基本网络结构(1)FIR系统的4种基本网络结构：直接型、级联型、频率取样型、线性相位型 (1)直接型结构(卷积型结构)FIR系统的差分方程：y (n)=N-1 i=0
∑ bi x(n i)
x(n) h(0)
z-1 h(1)
z-1 h(2)
z-1 h(N-2) h(N-1) y(n)
bn, n= 0,1,..., N 1冲击响应：h(n)= 0,其它 N-1 FIR系统的差分方程：y (n)=∑ h(m) x(n m)m=0
FIR网络的直接型结构
系统函数：H ( z )=
N-1 n=0
∑ h ( n) z nx(n)M
(2)级联型结构因式分解
:H ( z )=k=0
A z-1
β01β11 z-1 z H1(z)-1
β02β12β22 H2(z)
y(n)
∑ bk z k= A ∏ (1 ci z 1 ), ci是零点.i=1
M
实数零点形成一阶网络：H j ( z )=β 0 j+β1 j z 1共轭零点合并成二阶网络：H j ( z )=β 0 j+β1 j z 1+β 2 j z 2FIR系统分解成一阶、二阶网络的级联形式：H ( z )= H 1 ( z ) H 2 ( z )...H k ( z )
FIR网络的级联型结构
说明：普遍采用直接型结构。级联型调整零点方便；但乘法器比直接型多。
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6.4有限冲击响应基本网络结构(2)(3)频率取样型结构①基本结构：基于ZT与DFT的关系。FIR系统有限长，冲击响应为h(n),n=0,…,M-1,频率响应可用抽样点H(k),k=0,…,N-1精确表示，N≥M。当FIR系统用H(k)表示时，由内差关系，系统函数为1 H ( z)= NN 1 k=0
∑ H (k ) 1 z 1W kN
1 z N
x(n) z-NW0N W-1N
H(0)
y(n)1/N
= (1 z N )
1 N
N 1 k=0
z-1 z-1
∑ 1 z 1W kN
H (k )
H(1)
这种结构称频率抽样结构，它由梳状滤波器和N个一阶网络并联的级联组成。 零、极点：z k= W N k, k= 0,1,2,..., N 1,
H(N-1) W-N+1N
z-1
零、极点相同，等间隔分布在单位圆上。
FIR网络的频率抽样型结构
②特点调整频率响应容易。调整系数H(k)。对任何频率响应，网络结构不变。对于窄带系统，大部分H(k)为0,二阶网络数减少，比直接型结构运算量小。不稳定问题。极点在单位圆上，量化误差容易使零极点不能对消。乘法器系数H(k)和W因子一般为复数，做复数乘法硬件实现不方便。
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6.4有限冲击响应基本网络结构(3)③改进的频率取样型结构方法1:在r圆上抽样，系统函数为 H ( z )= (1 r N z N ) 1 N 1 H r (k ) ∑ N k=01 rz 1W N k= 0,1,2,..., N 1,等间隔分布在r圆上。x(n) z-N -rNr
x(n)
2rcos() -r2
z-1 z-1
a0k a1k
y(n)
H(0)
y(n)1/N
H r (k )是H ( z )在r圆上的等间隔抽样。零、极点：z k= rW N k, k
z-1H1(z) HN/2-1(z) H(N/2)
N 方法2:h(n)是实数，则H (k )= H ( N k ),且W N k= W N k。
将H k ( z )和H N k ( z )合并成二阶网络，记H k ( z ),那么 H k ( z)= H (k ) 1 rz 1W N k
+
H (N k) 1 rz 1W N ( N k )
=
1 2r cos(
α 0k+α1k z 1 2π 1N k)z
-r
z
-1
+ r 2 z 2
FIR网络的频率抽样型修正结构
α 0k=2 Re[ H (k )] N , k= 1,2,..., 1,α 0 k、α1k为实数。其中： k 2 α1k 2 Re[rH (k )W N] N为偶数：H ( z )= (1 r N z N )
α 0k+α1k z 1 H (0) H ( N/ 2) N/ 2 1 1 [++∑] 2π N 1 rz 1 1+ rz 1 1 2 2 k=1 1 2r cos( k)z+ r z Nα 0k+α1k z 1 1 H (0) ( N-1)/ 2 []∑ 2π N 1 rz 1 k=1 2 2 1 1 2r cos( k ) z+ r z N
N为奇数：H ( z )= (1 r N z N )
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6.5状态变量分析法(1)(1)状态方程和输出方程特点：内部特性分析。用途：系统内部结构研究；多输入多输出分析；寻找特殊网络，克服缺点。状态变量：一组最少的节点变量，可确定其它节点变量和输出信号。一般选在基本信号流图中单位延迟支路输出节点处。 b0
b1
例1:二阶网络的状态方程和输入输出方程。
w’2
z
-1
w2 z-1
w1 y(n)
x(n) b2 w' 2 (n)= w2 (n+ 1) -a1 w (n+ 1)= a w (n) a w (n)+ x(n) -a2 2 2 1 1 2解： 二阶网络的基本信号流图 w1 (n+ 1)= w2 (n) y (n)= b2 w1 (n)+ b1w2 (n)+ b0 w' 2 (n)= (b2 a 2 b0 ) w1 (n)+ (b1 a1b0 ) w2 (n)+ b0 x(n)
整理成矩阵形式： w1 (n+ 1) 0 w (n+ 1) = a 2 2 y (n)=[b2 a 2 b0 1 w1 (n) 0 + x ( n) a1 w2 (n) 1 b1 a1b0][w1 (n) w2 (n)]T+ b0 x(n)
结论：状态方程是状态变量和输入的关系。输出方程是输出和状态变量的关系。方法：①在单位延迟支路的输出节点建立状态变量wi(n),输入端为wi(n+1);②列出所有节点变量方程，化简为状态方程和输出方程。
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6.5状态变量分析法(2)例2:更一般的二阶网络的状态方程和输入输出方程。 w'1 (n)= w1 (n+ 1) w (n+ 1)= a w (n)+a w (n)+ b x(n) 11 1 12 2 1 1 解：w' 2 (n)= w2 (n+ 1) w (n+ 1)= a w (n)+a w (n)+ b x(n) 21 1 22 2 2 2 y (n)= c1 w1 (n)+ c2 w2 (n)+ dx(n) 整理成矩阵形式： w1 (n+ 1) a11 w (n+ 1) = a 2 21 a12 w1 (n) b1 + x ( n) a 22 w2 (n) b2 a11 w’1 b1 x(n) b2 w’2 a12 a21 z-1 a22一般二阶网络的基本信号流图 w2(n) c2 z-1 w1(n) c1 y(n)
y (n)=[c1 c 2][w1 (n) w2 (n)]T+ dx(n)整理成矩阵形式： W(n+ 1)=AW(n)+ Bx(n) y (n)= CW(n)+ Dx(n) a其中：A= 11 a 21 a12 T ,B=[b1 b2],C=[c1 c 2],D=[d] a 22
结论：状态方程和输出方程可用矩阵表示。
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6.5状态变量分析法(3)状态方程和输出方程的一般形式设系统有N个单位延迟支路，M个输入，L个输出，则状态方程和输出方程为 W (n+ 1)=AW(n)+ BX(n) Y(n)= CW(n)+ DX(n)其中: W (n)=[w1 (n) w2 (n) ... w N (n)]TX(n)=[x1 (n) x 2 (n) ... x M (n)]T Y(n)=[ y1 (n)
y 2 (n) ... y L (n)]T ... c1N d11 d ... c 2 N ,D= 21 ... ... c LN d L1 d12 d 22 d L2 ... d1M ... d 2 M ... ... d LM
a11 a12 ... a1N b11 b12 ... b1M c11 c12 a b c c 22 b22 ... b2 M a 22 ... a 2 N A= 21,B= 21,C= 21 ... ... a N 1 a N 2 ... a NN bN 1 bN 2 ... bNM c L1 c L 2 A、B、C、D称参数矩阵，它们确定了两
个方程。
单输入单输出系统的两个方程的信号流图 d B是列向量，C是行向量，D是标量。 x(n) y(n) W(n+1) W(n)参数A、B、C、D的含义： B z-1 C aij是节点wj(n)到节点wi(n+1)的支路增益。 bij是输入节点(j=1)到节点wi(n+1)的支路增益。 A单输入单输出系统的两个方程的信号流图 cij节点wj(n)到输出节点(i=1)的支路增益。 dij=d输入节点到输出节点的支路增益。
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6.5状态变量分析法(4)(2)离散系统的状态变量分析法系统表示：建立状态变量、两个方程。方法：①在单位延迟支路的输出节点建立状态变量wi(n),输入端为wi(n+1);②列出所有节点变量方程，化简两个方程。系统分析：求解两个方程。①解线性方程组求解析解。②递推法进行实时处理。例1:建立离散系统的状态方程和输入输出方程。 w1 (n+ 1)= a1w1 (n)+a 2 w2 (n)+ x(n) 解：w2 (n+ 1)= w1 (n) y (n)= b w (n+1)+ b w (n)+ b w (n)) 0 1 1 1 2 2 整理成矩阵形式： w1 (n+ 1) a1 w (n+ 1) = 1 2 y (n)=[a1b0+ b1 a 2 w1 (n) 1 + x ( n) 0 w2 (n) 0 a 2 b0+ b2][w1 (n) w2 (n)]T+ b0 x(n)x(n) w1(n+1) z-1 a1 a1 w1(n) z w2(n)-1
d x(n) B W(n+1) z-1 W(n) C y(n)
A离散系统的状态变量分析法
例2:由参数矩阵含义直接写出ABCD。 a12 a .解：A= 11,B=[b1 b2]T,C=[c1 c 2],D=[d] a 21 a 22 a11= a1,a12= a 2,a 21= 1,a 22= 0;b1= 1,b2= 0; c1= b1+ a1b0,c 2= b2+ a 2 b0;d= d 0 a因此：A= 1 1 a2 T ,B=[1 0],C=[b1+ a1b0 0
b0 b1 b2
y(n)
b2+ a 2 b0],D= d 0
已知网络的信号流图
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6.5状态变量分析法(5)(3)由状态变量分析法转换到输入输出分析法：求系统函数及单位脉冲响应。单输入单输出的状态方程和输出方程： W(n+ 1)=AW(n)+ Bx(n) y (n)= CW(n)+ dx(n)做z变换： zW( z )=AW( z )+ BX ( z ) W( z )=[ zI A] 1 BX ( z ) Y ( z )= CW( z )+ dX ( z ) Y ( z)系统函数：H ( z )== C[ zI A] 1 B+ d X ( z)极点：特征多项式A( z )= det( zI A)的根，即A的特征值。结论：H ( z )由参数矩阵确定。脉冲响应由状态方程的时域递推法求解。递推：W(n+ 1)=AW(n)+ Bx(n)归纳：W(n)=A n n0 W(n0 )+n n0 l=1
Y ( z )= C[ zI A] 1 BX ( z )+ dX ( z )
d x(n) B W(n+1) z-1 W(n) C y(n)
A离散系统的状态变量分析法
∑ A l 1Bx(n l )x(n)n
结论：第一项是零输入响应，第二项是零状态响应。脉冲响应：h(n)= CW(n)+ dx(n)= C∑ A l 1Bδ (n l )+ dδ (n)l=1
H(z)
y(n)
结论：单位脉冲响应由参数矩阵确定。
离散系统的输入输出分析法
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6.5状态变量分析法(6)(4)状态变量的线性变换G (n)=T-1W(n) G (n+ 1)=T W(n)=T ATG (n)+ T BX(n) Y(n
)= CW(n)+ DX(n)= CTG (n)+ DX(n)变换后的状态方程和输出方程： G (n+ 1)=A' G (n)+ B' X(n) Y(n)= C' G (n)+ D' X(n)其中：A'= T 1AT,B'= T 1B,C'= CT,D'= D-1 x(n) 1-1 -1
x(n) w2(n+1)
z-1 w2(n) w1(n+1)
z-1 w1(n)
y(n)
设T是N× N非奇异矩阵，对W(n)做线性变换：
原网络结构
2 w1(n+1) 4 -1 w2(n+1) z-1 -2 w2(n) z-1 w1(n) y(n)
可证明：H' ( z )=H( z ),其中H' ( z )= C'[ zI A'] 1 B'+ D', H( z )= C[ zI A] 1 B+ D
线性变换后的网络结构 1 1 例1:设系统函数H ( z )=z 2, T= 。求线性变换后的参数矩阵和网络结构。 1 2
解：画H ( z )=z 2的信号流图，直接写出参数矩阵： 1 1 0 ,B= ,C=[1 0],d= 0 A= 1 2 1 4 2 1 1做线性变换：A'= T 1AT= ,B'= T B= 1 ,C'= CT=[1 1],d '= d= 0 1 2 直接画出新网络的信号流图。结论：系统函数相同，网络结构不同。可导出有用网络。
