江苏科技大学附中2014年创新设计高考数学一轮简易通全套课时检测：数列 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知等比数列 an 中，a1,a13是方程x 8x 1 0的两个根，则a7等于( )
2
A． 1或 1 【答案】C
A．2 【答案】A
B． 1
C． 1 D． 2
2．在等比数列{a}中，a2=8，a5=64．则公比q为( )
B． 3
C． 4
D． 8
3．已知数列
{}的前n项和
}、
{
}使得( )
}为等比数列
其中a、b
是非零常数，则存在数列{A．B．C．D．【答案】C
为等差数列，
{和{
}都为等差数列
}都为等比数列
为等差数列，
{和
{
}都为等比数列
4．公差不为零的等差数列 an 中，a2,a3,a6成等比数列，则其公比为( )
A．1 【答案】C
5．已知{an}是等比数列，a4 4,a7
A．
B．2
C．3
D．4
1
,则公比q=( ) 2
C．2
D．
1 2
x
B．-2
1 2
【答案】D
6．已知函数f(x) 2,等差数列{ax}的公差为2.若f(a2 a4 a6 a8 a10) 4,则
log2[f(a1) f(a2)f(a3) f(a10)] ( )
A． 4 【答案】D
7．等比数列{an}中，公比q 1，且a1 a6 8,a3a4 12，则
B．6
C．-4
D．-6
a6
等于( ) a11
A．
1 2
B．
1 6
2
2
C．
1 3
D．
11或 36
【答案】C
8．等差数列 an 的各项都是负数，且a3 a8 2a3a8=9，那么S10等于( )
A． 9 【答案】D
9．已知等比数列{an}的公比为正数，且a1a7 2a5,a4 2,则a3 ( ) A．
【答案】D
2
B． 11 C． 13 D． 15
B． 1
n
C． 2
D．
10．已知数列 an 的前n项和Sn 2 k，若 an 是等比数列，则k的值为( )
A．
1 2
B． 1 C．1
D．
1 2
【答案】B
11．等比数列{an}的前n项和Sn，若8a2 a5 0，则
A．11 【答案】B
B．21
C．－11
S6
( ) S2
D．－21
12．若数列{an}是首项为1，公比为a
－的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是( )
A．1 【答案】B
B．2 C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在等差数列 an 中，首项a1 0,公差d
0，若ak a1 a2 a3 ... a7，则
k .
【答案】22
(an 1)214．设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn ，则S20的值为 ．
4
【答案】0
15．已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为____________. 【答案】1＜S＜2
16．设数列 an 是以1为首项，2为公差的等差数列，数列 bn 是以1为首项，2为公比的等比数列， 则ab1【答案】2036
ab2 ... ab10 =____________.
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知点（1，
1x
）是函数f(x) a(a 0,且a 1）的图象上一点，等比数列{an}的前n3
项和为f(n) c,正项数列{bn}的首项为c，且{bn}的前n项和Sn满足：
Sn－Sn 1=S
nn 2）.
(Ⅰ）求数列{an}的通项公式； (Ⅱ）求数列{bn}的通项公式； (Ⅲ）若数列{
10001
恒成立的最小正整数n。 前n项和为Tn，求使Tn
bnbn 12009
x
1 1
【答案】（Ⅰ）Qf 1 a , f x
3 3
12
f2 c f1 c , a1 f 1 c c ,a2 39
2
a3 . f3 c f2 c 27
42a21
又数列 an 成等比数列，a1 2 c ，所以 c 1；
a3 233
27n 1n
2 1 a21 1
又公比q ，所以an 2 n N* ；
3 3 a13 3
(
Ⅱ）QSn Sn 1 又bn
0数列
n 2
0, 1；
1 n 1 1 n ， Sn n2
2
构成一个首相为1公差为1
2
当n 2， bn Sn Sn 1 n n 1 2n 1 ；
bn 2n 1(n N*)；
(Ⅲ）Tn
11111111
K L
(2n 1) 2n 1b1b2b2b3b3b4bnbn 11 33 55 7
1 1 1 11 1 11 1 11
1 K 2 3 2 35 2 57 2 2n 12n 1 1 1 n
； 1
2 2n 1 2n 1
n100010001000
由Tn 得n ，满足Tn 的最小正整数为112.
2n 1200992009
18．已知函数y f(x)对任意的实数x,y都有f(x
y) f(x) f(y)且f(1) 0
(1)记an f(n),(n N),Sn
ai,设bn
i 1
n
2Sn
1且 bn 为等比数列,求a1的值; an
(2)在（1）的条件下，设Cn
1
证明：
1 2an
(i）对任意的x 0,Cn
11 2an x n N 2 1 x 1 x
n2
(ii) C1 C2 Cn n N
n 1
【答案】 (1)∵ f(x y) f(x) f(y)对于任意的x R均成立, ∴ f(n 1) f(n) f(1),即an 1 an a1.
∵ f(1) 0,∴a1 0, an 0(n N),
n
∴{an}是以a1为首项,a1为公比的等比数列, ∴an a1.
当a1 1时，an 1,Sn n,此时bn 2n 1,{bn}不是等比数列, ∴a1 1.
2 ∵{bn}成等比数列, ∴b1,b2,b3成等比数列, ∴b2 b1b3.
2S12(a1 a2)2(a1 a12)3a1 2
1 3,b2 1 1 ∵b1 , 2a1a2aa11
2(a1 a12 a13)3a12 2a1 23a1 229a12 6a1 6
1 , () b3
a13a12a1a12
解得a1
1
. 3
3n1
0, (2)在(1)的条件下, an n,知cn n
3 23
(i)
112112
( x) ( 1 1 x) 2n2n
1 x(1 x)31 x(1 x)3
=
111112
[ (1 x)]
1 x(1 x)2cncn(1 x)21 x11
( cn)2 cn≤cn, cn1 x
=
∴原不等式成立. 解法二 (i)设f(x)
112 ( x), 1 x(1 x)23n
则
f'(x)
1
(1 x)2
(1 x)2 (
22 x) 2(1 x)2( x)nn= (1 x)4(1 x)3
∵x 0, 当x 当x
2
时，f'(x) 0; 3n
2
时，f'(x) 0, 3n
22
当x n时，f(x)取得最大值f(n)
33
∴原不等式成立 .
(ii)由(i)知,对任意的x＞0,有
11 n
3
cn.
c1 c2 cn
11211
( x) 22
1 x(1 x)31 x(1 x)
(
2112n1222
= x) ( x) ( nx)
1 x(1 x)23n1 x(1 x)2332323n
21
(1 n)
12223 1(1 1), ∴取x ( 2 n)=n1n33n33n(1 )
3
n2
则a1 a2 an .
111n 11 (1 n)n 1 n
n33
n
∴原不等式成立.
n2
1，a3 3。
(1）求数列 an 的通项公式； (2）若数列 an 的前k项和Sk 35，求k的值．
【答案】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n.
n[1＋3－2n]22
所以Sn2n－n. 进而由Sk＝－35可得2k－k＝－35.
2
2*
即k－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N，故k＝7为所求．
22Sn
(n 2). 20．数列{an}的首项a1 1，前n项和Sn与an之间满足an
2Sn 1
19．已知等差数列 an 中，a1
(I）求证：数列{
1
}的通项公式； Sn
(II）设存在正数k，使(1 S1)(1 S2) (1 Sn) k2n 1对一切n N*都成立，求k的最大值.
【答案】（1）∵n 2时，an Sn Sn 1 ∴Sn Sn 1
2
2Sn2 ，∴(Sn Sn 1)(2Sn 1) 2Sn，∴Sn 1 Sn 2SnSn 1 2Sn 1
∴
11 2(n 2)， SnSn 1
11
是以 1为首项，以2为公差的等差数列。 SnS1
数列{
(2）由（1）知
111
, ∴Sn 1 . 1 (n 1) 2 2n 1，∴Sn
Sn2n 12n 1
，则
设F(n)
(1 S1)(1 S2) (1 Sn)
2n 1
F(n 1)(1 Sn 1)2n 1
F(n)2n 3
2n 22n 1)(2n 3)
4n2 8n 4
1. 2
4n 8n 3
∴F(n)在n N*上递增，要使F(n) k恒成立，只需[F(n)]min∵[F(n)]min
k
F(1)
222，∴0 k 3, kmax . 333
2
21．已知下列数列 an 的前n项和Sn 2n 3n，求它的通项公式an.
1时，a1 S1 2 12 3 1 5，
22
当n 2时，an Sn Sn 1 (2n 3n) 2(n 1) 3(n 1) 4n 1. 当n 1时，4 1 1 5 a1， an 4n 1.
【答案】当n
22．在等比数列 an 中，a1
1,公比q 0，og设bn l
2
an，且b1 b3 b5 6,b1b3b5 0.
(1）求证：数列 bn 是等差数列；
(2）求数列 bn 的前n项和Sn及数列 an 的通项公式； (3）试比较an与Sn的大小. 【答案】（1）由已知bn 1 bn log2
an 1
logq为常数.故数列 bn 为等差数列， an
且公差为d(2）因a1
log2q. (先求q也可）
1, b1 log2a1 0，又b1 b3 b5 6 b3 2，所以b5 0.
b3 b1 2d 2,9n n2
b1 4,d 1 Sn 由
b b 4d 021 5
由
d log2q 11
a1 16,q an 25 n,n N*.
2 b1 log2a1 4
(3）因an 0,当n 9时，Sn 0，所以n 9时，an Sn； 又可验证n 1,2是时，an Sn；n 3,4,5,6,7,8时，an Sn.
