2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
1n1n2
s (xi ),其中 xi
x,x, ,xn的方差ni 1ni 1
样本数据12
2
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。 1.若复数
z1 4 29i,z2 6 9i，(z z2)i的实部为______
其中i是虚数单位，则复数1
2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a| 2,|b| a和向量b的数量积
a b __________ .
32
f(x) x 15x 33x 6的单调减区间为_____
3.函数
4.函数
y sAi n (x
)A (为
常数，
A 0, 0)在闭区间[ ,0]上的图象如图所示，
则
_______ .
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________ .
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，
则以上两组数据的方差中较小的一个为s
2
________ .
________ .
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________ .
3
xoyC:y x 10x 3上，
9.在平面直角坐标系中，点P在曲线
且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________.
a
10.已
知
1
x
f(x) a2，函数
，若实数
m,n
满足
f(m) f(n，则)m,n的大小关系为 ________
. 11.已知集合
A x|log2x 2 ，B ( ,a)，若A B则实
(c, )，其中c ________ .
数a的取值范围是
12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； （2）若 外一条直线l与 内的一条直线平行，则l和 平行；
（3）设 和 相交于直线l，若 内有一条直线垂直于l，则 和 垂直； （4）直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）. 13．如图，在平面直角坐标系
2
2
xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆
xy
1(a b 0)22ABab的四个顶点，F为其右焦点，直线12
与直线
B1F相交于点T，
线段OT与椭圆的交点M
恰为线段OT
的中点，则该椭圆的离心率为
________.
14．设
,2, an 是公比为q的等比数列，|q| 1，令bn an 1(n 1
)
若数列
bn 有
连续四项在集合
53, 23,19,37,82 中，则6q ________
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。 15．（本小题满分14分） 设向量
a (4cos ,sin ),b (sin ,4cos ),c (cos , 4sin )
tan( )的值；
（1）若a与b 2c垂直，求（2）求|b c|的最大值; （3）若tan tan
16，求证：a∥b.
16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱
ABC A1BC11中，E,F分别是A1B,AC1的中点，点D在B1C1上，
A1D B1C
求证：(1)EF∥平面ABC
（2）
平面AFD 平面BBC111C
17．（本小题满分14分）
2222
aS a a a ann345,S7 7 设是公差不为零的等差数列，n为其前项和，满足2
（1）求数列
an 的通项公式及前n项和Sn；
amam 1
a a （2）试求所有的正整数m，使得m 2为数列n中的项.
18．（本小题满分16分）
22
xoyC:(x 3) (y 1) 4和圆
在平面直角坐标系中，已知圆1
C2:(x 4)2 (y 5)2 4
（1）若直线l过点直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线
A(4,0)，且被圆C
1截得的弦长为，求
l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截
l2被圆C2截得的弦长相等，
试求所有满足条件的
得的弦长与直线点P的坐标.
19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m
mn元，则他的满意度为m a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为n a.
如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为的综合满意度为
mA元和mB元，甲买进A与卖出B
h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙
3m mBAhhmm5时，求证：h甲=h乙； 求甲和乙关于A、B的表达式；当
3
mA mB
5，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综设
合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为
h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲 h0和
h乙 h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
3
m mBAhhmm5时，求证：h甲=h乙； 求甲和乙关于A、B的表达式；当
3
mA mB
5，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综设
合满意度为多少？
记(2)中最大的综合满意度为
h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲 h0和
h乙 h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
20．(本小题满分16分)
2
f(x) 2x (x a)|x a|. a设为实数，函数
若求
f(0) 1，求a的取值范围； f(x)的最小值；
h(x) f(x),x (a, )，h(x) 1的解集.
直接写出(不需给出演算步骤)不等式
设函数
1.【答案】 20 【解析】略 2.【答案】3
参考答案
a b 2 【解析】3.【答案】
32
( 1,11)
2
f(x) 3x 30x 33 3(x 11)(x 1)，由(x 11)(x 1) 0得单调
【解析】
减区间为
( 1,11)。
4.【答案】3
23
T T
3，所以 3， 【解析】2，
5.【答案】0.2
【解析】略
2
6.【答案】5
【解析】略 7.【答案】22 【解析】略 8.【答案】1：8 【解析】略 9.【答案】
( 2,15)
【解析】略
10.【答案】m n 【解析】略 11.【答案】4 【解析】由
log2x 2得0 x 4，A (0,4]；由A B知a 4，所以c 4。
12.【答案】（1）（2） 【解析】略 13.
【答案】e 5
【解析】用a,b,c表示交点T，得出M
坐标，代入椭圆方程即可转
化解得离心率. 14.【答案】 9
【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解. 15.【解析】由a与b 2c垂直，即
a (b 2c) a b 2a c 0，
4sin( ) 8cos( ) 0，tan( ) 2；
b c (sin cos ,4cos 4sin )
|b c|2 sin2 2sin cos cos2 16cos2 32cos sin 16sin2
17 30sin cos 17 15sin2 ，最大值为32，所以|b c
|的最大值为
由
tan tan 16
得
sin sin 16cos cos
，即
4 c o s
4 ， c
所以a∥b. 16.【解析】证明：（1）因为
E,F分别是A1B,AC1的中点，所以EF//BC，又
EF 面ABC，BC 面ABC，所以EF∥平面ABC；
（2）因为直三棱柱
ABC ABB1 A1D，又1B1C1，所以BB1 面A1B1C1，
A1D B1C
，所以
A1D 面B
1
B1CCAD 面AFD11，又
A1
，所以
平面AFD 平面BBC111C。
17.（1）设公差为d
2222a a a a543，由性质得，则2
C1 F
B1
E
A
C
B
3d(a4 a3) d(a4 a3)
S 7得2a1 5d 0，又由7
，因为
d 0
，所【解析】以
a4 a3 0
，即
7a1
7 6
d 7
a 5， 2，解得1
2
aa 2n 7 S n 6n。 d 2所以n的通项公式为n，前n项和n
（2）
aa(2m 7)(2m 5)
am 2(2m 3)
，令
2m 3 t
，
amam 1(t 4)(t 2)8 t 6
am 2tt，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8
t 6 3
m 2时，t2 5 7 3，因为t是奇数，所以t可取的值为 1，当t 1，，8
t 6 15
a a t是数列n中的项；t 1，m 1时，，数列n中的最小项是 5，
不符合。
所以满足条件的正整数m 2。
18.【解析】(1)
y 0或
y
7
(x 4)24，
(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐
31351
( ,)(, )22或22。 标为
h甲19.【解析】
(1)
h乙(mA [3,12],mB [5,20])
3
mA mB
5时，
当
h甲
h乙
显然
h甲=h乙
(2)当
3mA mB
5
时
，
h甲
11111 mB [5,20]得 [,]
mB205，故当mB20即mB 20,mA 12时，甲乙两人同时
由
取到最大的综合满意度为
a 0
a|a| 1 2 a 1
f(0) 1 a 120.【解析】（1）若，则
f(x)min
22f(x) 3x 2ax a,x a（2）当时，
2
f(a),a 0 2a,a 0 a 2a2
f(),a 0 ,a 0 3 3
当x a时，f(x) x 2ax a,
22
f(x)min
2 f( a),a 0 2a,a 0 2
2a,a 0 f(a),a 0
f(x)min
综上(3)
2a2,a 0
2a2
,a 0 3
x (a, )时，h(x) 1得3x2 2ax a2 1 0， 4a2 12(a2 1) 12 8a2
a 时， 0,x (a, )；
a 当
当
a 时，
0,得
(xx 0 x a
a 1
）
22时，x (a, )
a x [ )a [
2232
）时，
x (a )a (
223
）时，
