例24、已知函数
4x2?7f?x??，x??01（Ⅰ）求f?x?的单调区间和值域； ，?2?x（Ⅱ）设a?1，函数g?x??x2?3a2x?2a，x??01，，，?，总存在x0??01?，若对于任意x1??01?使得
g?x0??f?x1?成立，求a的取值范围。
【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不等式的运算能力
第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数从而转化为求解函数
y?g?x?在区间?01，?上的值域是函数f?x?的值域的子集，
y?g?x?在区间?01，?上的值域。
22解析(Ⅰ)
f?(x)??4x2?16x?7?2?x?f(x)??(2x?1)(2x?7)?2?x?22，令
f?(x)?0解得x?f?(x)?0,12或
x?72,在
1x?(0,)2，
f?(x)?0,所以为单调递减函数；在
1x?(,1)2，所以
f(x)为单调递增函数；又
711f(0)??,f(1)??3,f()??4，即f(x)的值域为[-4，-3]，所以f(x)的单调递减区间为(0,)，f(x)的单
2221调递增区间为(,1)，f(x)的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以).
2（Ⅱ）∵g?(x)?3(x2?a2),又a?1，当x?(0,1)时，g?(x)?3(1?a2)?0，
因此，当x?(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x?[0,1]时，有g(x)?[g(1),g(0)]. 又g(1)?1?2a?3a任给x1?[0,1]，有
2,g(0)??2a，即当x?[0,1]时，有g(x)?[1?2a?3a2,?2a]，
f(x1)?[?4,?3]，存在x0?[0,1]使得g(x0)?f(x1)，
a?2。 35?a?1,或a????则?1?2a?3a??43又a?1，所以a的取值范围是1????3?2a??3??a???22【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为高考命题重点应引起高度注意．单调区间的求解过程，已知求导数
y?f(x) （1）分析 y?f(x)的定义域； （2）
y??f?(x)（3）解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f?(x)?0，解集在定义
f(x)在(a,b)单调递增，在(b,c)域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数单调递增，又知函数在
f(x)?b处连续，因此f(x)在(a,c)单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单
调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。
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【练25】已知函数f(x)=－x＋3x＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，＋∞）（2）－7
32
答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960
【易错点25】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。
?32?例25、在?x?2?x??5的展开式中，x的系数为 ，二项式系数为 。
5【易错点分析】在通项公式Tr?1解析：令15?5rr?C5?2r?x15?5r中，C5r是二项式系数，C5r?2r是项的系数。
22?5，得r?2，则项x5的二项式系数为C5?10，项的系数为C5?22?40。
【知识点归类点拨】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。
1?1?【练25】如果?3x?的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）（A）7 （B）?7 ?332xx??（C）21 （D）?21 答案：当xn?1时(3?1?1312r)n?2n?128,?n?7即(3x?23r57?r313x2)7,根据二项式通项公式得
Tr?1?C(3x)r77?r(?1)(x)?C3?r77?r(?1)xr5?7?r??3,r?63时对应
1x3,即
67?6T6?1?C73(?1)611121?7?3??.故
x3x3x3x3项系数为21.
。
【易错点26】（此点理科使用）不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。 例26、四个男同学和三个女同学站成一排。
（1） 三个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ （2） 任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ （3） 其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？ （4） 甲、乙两人相邻，但都与丙不相邻，有多少种不同的排法？
（5） 女同学从左往右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（三个女生身高互不相等）
【易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题，顺序一定问题等，如果对题意理解不够充分，往往选择错误的方法。
解析：（1）3个女同学是特殊元素，我们先把她们排列好，共有
3种排法；由于3 个同学必须排在一起，我们可视排好的A3355种排法。由乘法原理，有A3?A5?720种不同A5女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是五个元素的全排列，应有排法。
（2）先将男生排好，共有件的排法共有
43种排法；再在这4个男生的中间及两头的5 个空中插入3个女生，有A5种方案。故符合条A443A4?A5?1440种。
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（3）甲、乙2人先排好，共有A2种排法；再从余下的5人中选三人排在甲、乙2人中间，有A5种排法，这时把已排好的5人看作一个整体，与剩下的2人再排，又有A3种排法；这样，总共有（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有
3423A4?A2?A3?720种不同的排法。
2342种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有A2种排法；最后把A4422?A2?A5?960种不同A52种排法；这样，总共有A4甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中，有的排法。
（5）从七个位置中选出4个位置把男生排好，有故仅有一种排法。这样总共有
4种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于女生要按高矮排列。A74种不同的排法。 A7【知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是：①直接法：?位置分析法?②间接法：用加法原理（分类）?元素分析法?用乘法原理（分步）?插入法（不相邻问题）?捆绑法（相邻问题）?即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊位置入手。 【练26】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数（ ） A、234 B、346 C、350 D、363
解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间3个座位，共有
212A20?A19?A2?4?346种。
rn?rr?Cnab12种，再加上A19?A24种不能算相邻的，共有
【易错点27】（此点理科使用）二项式展开式的通项公式为Tr?1kkPn?k??CnP?1?P?n?k，事件A发生k次的概率：
。二项分布列的概率公式：pkkkn?k?Cnpq,k?0,1,2,3,n且0?p?1,p?q?1，
三者在形式上的相似，在应用容易混淆而导致出错。
例27、某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得—100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。 （1） 求这名同学回答这三个问题的总得分?的概率分布和数学期望。 （2） 求这名同学总得分不为负分（即??0）的概率。
【易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量?以及二项分布的条件的理解出错。 解析：（1）?的可能取值为—300，—100，100，300。
所以?的概率分布为
P????300??0.23?0.008P????100??3?0.22?0.8?0.096P???100??3?0.2?0.82?0.384P???300??0.83?0.512?
—300 —100 100 300 - 18 -
P 0.008 0.096 0.384 0.512 根据?的概率分布，可得?的期望
E????300??0.008???100??0.096?100?0.384?300?0.512?180
（2）这名同学总得分不为负分的概率为
P???0??0.384?0.512?0.896。
【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率P复实验n次其中发生k次的概率CnPkk???k??k?0,1,2,?就是独立重
?1?P?n?k。但在解决实际问题时一定看清是否满足二项分布。
【练27】设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为的概率为
34，遇到红灯（禁止通行）
14。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，?表示停车时已经通过的路口数，求：
（1）?的概率分布列及期望E?；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。 解析：（1）
?的所有可能值为0，1，2，3，4。用
Ak表示“汽车通过第k个路口时不停”‘则
P?Ak??31?k?1,2,3,4?且A1,A2,A3,A4独立。故P???0??PA1? 44313319P???1??PA1?A2???,P???2??PA1?A2?A3?()2??,
44164464???????3?127P???3??PA1?A2?A3?A4?????,?4?4256??381?3?P???4??P?A1?A2?A3?A4?????256?4?从而?的分布列为
4
?P 0 1 2 3 4 13927 416642561392781525E??0??1??2??3??4??
4166425625625681175?（2）P???3??1?P???4??1?。 256256
81 256【易错点28】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。 例28、如图，在棱长为1的正方体
ABCD?A1BC11D1中，M，N，P
分别为
A1B1,BB1,CC1的中点。求异面直线
D1P与AM,CN与AM所成角的余弦值。
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[易错点分析]异面直线所成角的范围是???00,900??，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余弦值为负值，
错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。 解析：如图，连结则PN//A1N，由N,P为BB1,CC1中点，
A1 D1 M
B1 C1
A1D1,PN?A1D1,从而A1N//D1P
AM和D1P所成的角。
故AM和D1P所成的角为
P
N
D ，
易证Rt?AA1M≌Rt?A1B1N。所以故D1P与AM所成的角为90。 又设AB的中点为Q，则B1Q//0A1N?AMC
B A
AM,B1Q?AM.又CN//B1P,CN?B1P,从而CN与AM所成的角就是?PBQ1（或
256,PQ?.在?PB1Q中，由余弦定理得cos?PB1Q?，
52225。
0其补角）。易求得B1Q?B1P?故CN与AM所成角的余弦值为
【知识点归类点拨】求夹角要牢记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围：0围：00???900；直线与平面所成角的范
???900；二面角的平面角的取值范围：00???1800。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意
两异面直线所成的角与两向量的夹角的联系与区别。
【易错点29】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。 例29、如图，已知正三棱锥P—ABC的体积为72大小为60。
（1） 证明PA?03，侧面与底面所成的二面角的
BC；
（2） 求底面中心O到侧面的距离。
解析：（1）证明：取BC边的中点D，连结AD、PD，则
AD?BC,PD?BC，故BC?平面APD?PA?BC。
（2）解：如图，由（1）可知平面PBC?平面APD，则?PDA是侧面与底面所成二面角的平面角。 过点O做OE?PD，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离，设OE为h，由题意可知点O在AD上，
??PDO?600,OP?2h.OD?2h32,?BC?4h,?S?ABC??4h??43h2431832723??43h2?2h?h,?h?3即底面中心O到侧面的距离为3。
33【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高。
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