高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合学生在考试中常见的29个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。 【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、 设
A??x|x2?8x?15?0?，B??x|ax?1?0?，B若AB?，求实数a组成的集合的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件
AB?B易知B?A，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种
B?B知B特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析：集合A化简得A??3,5?，由A?A故（Ⅰ）当B??时，即方程ax?1?0无解，此时a=0
符合已知条件（Ⅱ）当B??时，即方程ax?1?0的解为3或5，代入得a?11或。综上满足条件的a组成的集合为35?11?3?0,,?，故其子集共有2?8个。 ?35?【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝Ｂ?A∩B＝Ａ?Ａ集Φ的情况优先进行讨论．
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：
Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空
A???x,y?|x2?y2?4?，B???x,y?|?x?3???y?4?22?r2?，其中r?0,若AB??求r的取值范围。
将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练1】已知集合
A??x|x2?4x?0?、B??x|x2?2?a?1?x?a2?1?0?，若B?A，则实数
?1或a??1。
a的取值
范围是 。答案：a【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知
?x?2?2y2??1,求x2?y2的取值范围 4【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足
?x?2?2y2??1这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 4解析：由于
?x?2?2y2y22??1得(x+2)=1-442
2
≤1，∴-3≤x≤-1从而x+y=-3x-16x-12=
222
+
283因此当x=-1时x+y有最小值1, 当x=-
82822
时，x+y有最大值33。故x+y的取值范围是[1,
22
283]
- 1 -
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件?x?2?2y2??1对x、y的限制，显然方程表示以（-2，40）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，?2?y?2。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。 【易错点3】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
例3、判断函数
f(x)?lg?1?x2?x?2?2的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：f为非奇非偶函数的错误结论。
(?x)?lg?1?x2?x?2?2?f?x?从而得出函数f?x?2??1?x?0解析：由函数的解析式知x满足?即函数的定义域为??1,0?x?2??2???0,1?定义域关于原点对称，在定义域下
f?x??lg?1?x2??x易证
f??x???f?x?即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。（2）函数
f?x?具有奇偶性，则f?x??f??x?或f?x???f??x?是对定义域内x的恒
等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练3】判断下列函数的奇偶性：
①
f?x??4?x2?x2?4②f?x???x?1?1?x1?x③
f?x??1?sinx?cosx1?sinx?cosx
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点4】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例4、试判断函数
f?x??ax?b?a?0,b?0?的单调性并给出证明。 x【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义
x1?D,x2?Df?x1??f?x2??f?x1??f?x2??中的x1,x2的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子
集，要树立定义域优先的意识。 解析：由于
f??x???f?x?即函数f?x?为奇函数，因此只需判断函数f?x?在?0,???上的单调性即可。设
，
x1?x2?0axx?bf?x1??f?x2???x1?x2?12x1x2 由于
x1?x2?0 故当
?b?x1,x2??,????a??? 时
?b??b?,??0,上增函数，同理可证函数在上为减函数。又由f?x1??f?x2??0，此时函数f?x?在?fx??????a???a???? - 2 -
?b???b?b?于函数为奇函数，故函数在?????,?a??为增函数。综上所述：函数f?x?在????,?a??和?a,0??为减函数，在????????b??b??b?,??0,,0?上分别为增函数，在和??上分别为减函数. ?????a?????a??a????【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。 （2）单调性的定义等价于如下形式：f?x?在?a,b?上是增函数?f?x1??f?x2??0，f?x?在?a,b?上是减函x1?x2数?f?x1??f?x2??0，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点?x1,f?x1??,?x2,f?x2??连x1?x2f?x??ax?b?a?0,b?0?是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注x线的斜率都大于（小于）零。（3）意本题中不能说?b???,?f?x?在????a???b??b?,??0,上为增函数，在?????a???a?????b????a,0??上为减函数,在叙述函??数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”， 【练4】
f?x??ax?1?x（2）设f?x?在?a?0?（1）用单调性的定义判断函数f?x?在?0,???上的单调性。
ax0?x?1的最小值为g?a?，求y?g?a?的解析式。
?1?2??a?1??1??1?
答案：（1）函数在?,???为增函数在?0,?为减函数。（2）y?g?a??? a?a??a??a?0?a?1??【易错点5】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 例5、已知函数
f?x??ax3?3x2?x?1上是减函数，求a的取值范围。
【易错点分析】f?件，如
?x??0?x??a,b??是f?x?在?a,b?内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条
f?x???x3在R上递减，但f??x???3x2?0。
2f??xx?6??3a解析：求函数的导数
（?x11）当
f??x??0时，
f?x?）
当
是减函数，则
2f??xx?6??3a?x1??0?a?0xR???故
???03解得
a??3。（2
a??3时，
1?8?（3）当a??3时，在R上存在一f?x???3x3?3x2?x?1??3?x???易知此时函数也在R上是减函数。
39??个区间在其上有
f??x??0，所以当a??3时，函数f?x?不是减函数，综上，所求a的取值范围是???,?3?。
f?x?可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①f?(x)?0与f(x)为增
- 3 -
【知识归类点拔】若函数
函数的关系:
f?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)?x3在(??,??)上单调递增，但
f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。②f?(x)?0时，f?(x)?0与f(x)为增函数的关
系:若将∴当
因为规定f?(x)?0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f?(x)?0。f?(x)?0的根作为分界点，
f?(x)?0时，f?(x)?0是f(x)为增函数的充分必要条件。③f?(x)?0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增
f?(x)?0，但反之不一定，因为f?(x)?0，即为f?(x)?0或f?(x)?0。当函数在某个区间
函数，一定可以推出内恒有
f?(x)?0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f?(x)?0是f(x)为增函数的必要不充分条件。函数的单
调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 【练5】函数A、by?x2?bx?c?x??0,????是是单调函数的充要条件是（）
?0 B、b?0 C、b?0 D、b?0
答案：A
【易错点6】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。
例6、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+
1a)+(b+
2
1b)的最小值。
2
错解 :(a+
1a)+(b+
2
1b)=a+b+
222
11+a2b2+4≥2ab+
2ab+4≥4
ab?11+4=8∴(a+
aab)+(b+
2
1b)的最小值是8
2
【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=
条件ab=
22
12,第二次等号成立的
1ab2
，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
2
2
2
2
2
解析：原式= a+b+
2
11111121++4=( a+b)+(+)+4=[(a+b)-2ab]+ [(+)-]+4 =(1-2ab)(1+)+4由222222abababababa?b111111251ab≤()= 得：1-2ab≥1-=,且22≥16，1+22≥17∴原式≥317+4= (当且仅当a=b=
2422222abab1125时，等号成立)∴(a+)+(b+)的最小值是。
ab22
2
【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中
容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。
【易错点7】涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。 例7、是否存在实数a使函数
f?x??logaax2?x在
?2,4?上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说明理由。
【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。 解析：函数
f?x?是由??x??ax2?x和y?loga??x?复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法（1）当a>1时，
- 4 -
若使
2ax?x在?2,4?上是增函数，则??x??ax?x在?2,4?上是增函数且大于零。故有f?x??loga2?1??2ax解得a>1。（2）当a<1时若使f?x??loga?2a???2??4a?2?0?2?x在
2则??x??ax?x在?2,4??2,4?上是增函数，
?1??4ax上是减函数且大于零。?2a不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得函数f?x??loga???4??16a?4?0?上是增函数
2?x在
?2,4?【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。 【练7】（1）设a?0，且a?1试求函数y?loga4?3x?x2的的单调区间。
答案：当03?3???3???3?
?a?1，a?1函数在??1,上单调递减在上单调递增当函数在上单调递增在,4?1,,4?上??????2?2???2???2?
单调递减。 （2）若函数
11则a的取值范围是（）A、[,1) B、f?x??loga?x3?ax??a?0,a?1?在区间(?,0)内单调递增，
24399[,1) C、(,??) D、(1,) 444答案：B.（记g2?x??x3?ax，则g'?x??3x2?a当a?1时，要使得f?x?是增函数，则需有g'?x??0恒成立，所
23?1?1?3?以a?3????.矛盾.排除C、D当0?a?1时，要使f?x?是函数，则需有g'?x??0恒成立，所以a?3????.
44?2??2?排除A）
【易错点8】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．
12求siny?cosx的最大值 31【易错点分析】此题学生都能通过条件sinx?siny?将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换元的思想令
3t?sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，
112解析：由已知条件有siny??sinx且siny??sinx???1,1?（结合sinx???1,1）得??sinx?1，?333例8、已知sinx?siny?而
siny?cos2x=
1?sinx?cos2x3=
?sin2x?sinx?23令
?2?t?sinx???t?1??3?49。
则原式
=t2222?2??t????t?1?根据二次函数配方得：当t??即sinx??333?3?时，原式取得最大值
【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而
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