使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
【练8】（1）设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx2cosx－2a的最大值和最小值。
2答案：f(x)的最小值为－2a－2
2?12(0?a?)?1?22 2a－，最大值为?212?2?2a?22a?(a?)?22?（2）不等式x>ax＋答案：a3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
21?,b?36（提示令换元x?t原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为2,b8??）
?b的值。
易错点9】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例9、已知关于的方程x2?3x?a?0和x2?3x?b?0的四个根组成首项为
34的等差数列，求a【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。 解析：不妨设
34是方程x2?3x?a?0的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程x2?3x?a?02的另一根是此等差数列的第四项，而方程x?3x?b?0的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差
数列为：
2735313579,b?,,故a?从而a?b=。 1616844,44【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列则an若n?m?p?q，则an?am?ap?aq；对于等比数列?an?，若n?m?u?v，?an?，n项的和，k?N，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比*?am?au?av；若数列?an?是等比数列，Sn是其前数列；若数列?an?是等差数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。 【易错点10】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不全。 例10、已知数列（1）求数列
?an?是等差数列，且a1?2,a1?a2?a3?12
?an?的通项公式（2）令bn?anxn?x?R?求数列?bn?前项和的公式。
?an?的通项公式再由数列?bn?的通项公式分析可知数列?bn?是一个等差数列和一
【思维分析】本题根据条件确定数列
个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。 解析：（1）易求得an（2）由（1）得bn
?2n
?2nxn（Ⅰ）则
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?2nxn令sn?2x?4x2?6x3?xsn?2x2?4x3?（注意错过一位再相减）得?2?n?1?xn?2nxn?1（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）
?1?x?sn?2x?2x2?2x3?sn?2?4?6?综上可得：
?x?1?xn??2n?1nn?1??nx?当x?1时?2x?2nx当x?1sn?1?x?1?x????2n?n?n?1?
n?2?x?1?x?n?1?当x?1sn??nx?当x?1时sn?2?4?6?1?x?1?x????2n?n?n?1?
【知识点归类点拔】一般情况下对于数列
?cn?有cn?anbn其中数列?an?和?bn?分别为等差数列和等比数列，则其前n
项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。
【易错点11】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０．尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例11、已知双曲线x2?y2?4，直线y?k?x?1?，讨论直线与双曲线公共点的个数
【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。
??y?k?x?1?22222解析：联立方程组?消去y得到?1?k?x?2kx?k?4?0（1）当1?k?0时，即k??1，
22??x?y?4?1?k2?0?方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。（2）当?时即
2????4?4?3k??02?1?k?023，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当?时，方程组有两个交点此时k???23???4?4?3k??0??1?k2?023232323?且k??1。（4）当?时即k?或k??时方程组无解此时直线??k?23333???4?4?3k??0?与双曲线无交点。 综上知当k??1或k??232323时直线与双曲线只有一个交点，当?且k??1。时直线与双曲线有两?k?333个交点，当k?2323或k??时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 33【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有
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一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。
y2?1 ，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直【练11】已知双曲线C：x?42y2?1中整理有(4-k)x+2k(k-1)x- 线l共有____条。答案：4条（可知k存在时，令l: y-1=k(x-1)代入x?422
2
l
(1-k)-4=0,∴ 当4-k=0即k=±2时，有一个公共点；当k≠±2时，由Δ=0有k
2
2?
5
，有一个切点另：当k不存在时，x=1也2
l
和曲线C有一个切点∴综上，共有4条满足条件的直线） 【易错点12】易遗忘关于sin?和cos?齐次式的处理方法。
cos??sin?22；（2）sin??sin?.cos??2cos?的值.
cos??sin?22【思维分析】将式子转化为正切如利用1?sin??cos?可将（2）式分子分母除去sin?即可。
sin?1?cos??sin?cos??1?tan??1?2??3?22；
解：（1）?sin?1?tan?1?2cos??sin?1?cos?sin2??sin?cos??2cos2?22 (2) sin??sin?cos??2cos??
sin2??cos2?sin2?sin???222?2?24?2cos?cos? ?. ??2sin?2?13?1cos2?例12、已知tan??2，求（1）
【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。(1?sin2??cos2??sec2??tan2?这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．
?sin?cos??2cos2??0,??[,?],求sin(2??)的值.
23tan??31?tan2???2）
1?tan2?【练12】已知6sin2???答案：?653（原式可化为6tan2??tan??2?0，sin?2????????3??1326【易错点13】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将?和?求错。
例13．要得到函数
1???y?sin?2x??的图象，只需将函数y?sinx的图象（）
23???个单位。 31?B、 先将每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向左平移个单位。
43?C、 先把每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向左平移个单位。
61?D、 先把每个x值缩小到原来的倍，y值不变，再向右平移个单位。
46A、 先将每个x值扩大到原来的4倍，y值不变，再向右平移
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【易错点分析】
11y?sinx变换成y?sin2x是把每个x值缩小到原来的
24倍，有的同学误认为是扩大到原来的倍，
这样就误选A或C，再把
????有的同学平移的单位误认为是y?sin2x平移到y?sin?2x??有的同学平移方向错了，
33??。
解析：由
11???y?sinx变形为y?sin?2x??常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将y?sinx的图象
223??14倍得到函数
上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
y?2sin2x的图象，再将函数y?2sin2x的图象纵坐标不变，
横坐标向右平移
?6单位。即得函数
1???y?sin?2x??。或者先进行相位变换，即将y?sinx的图象上各点的纵坐标
23??不变，横坐标向右平移
2?3个单位，得到函数
1?2?y?sin?x?2?3????1?sinx????的图象，再将其横坐标变为原来的
23???4倍即得即得函数
???y?sin?2x??的图象。
3??y?sinx得到y?Asin?wx???【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由的图象有如下两种思路：一先进行振幅变换即由y?sinx横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍得到y?Asinx，再1进行周期变换即由 y?Asinx纵坐标不变，横坐标变为原来的?倍，得到y?Asinwx，再进行相位变换即由y?Asinwx横坐标向左（右）平移了振幅变换后，再进行相位变换即由??个单位，即得???y?Asin??x???Asin??x???，另种就是先进行???个单位，即得到函数y?Asinx向左（右）平移?y?Asin?x???的图象，再将其横坐标变为原来的粹的变量x来说的。 1?倍即得y?Asin?wx???。不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯【练13】要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的 A、 横坐标缩短为原来的
12倍（纵坐标不变），再向左平移?个单位长度。B、横坐标缩短为原来的
12倍（纵坐标不变），
再向左平移?个单位长度。C、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移?个单位长度。D、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移?个单位长度。 答案：C
【易错点14】没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。
7求tan?的值。 137【易错点分析】本题可依据条件sin??cos??，利用sin??cos???1?2sin?cos?可解得
13sin??cos?的值，再通过解方程组的方法即可解得sin?、cos?的值。但在解题过程中易忽视sin?cos??0这个隐含条件来确定角?范围，主观认为sin??cos?的值可正可负从而造成增解。
例14、已知???0,??，sin??cos?? - 9 -
7120?0，又由于???0,??，故有（1）有2sin?cos???1316917（2）联立（1）（2）sin??0,cos??0，从而sin??cos??0即sin??cos??1?2sin?cos??1312512,cos??可得sin??，可得tan??。 13135解析：据已知sin??cos??【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在?0,??区间内、与已知角的三角函数值的大?????0,?则必有sin??cos??1,?2?小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若?故必有??????,??。 ?2?11?cos??,???0,??，则
5tan?的值是 。答案：?【练14】已知sin?3 4【易错点15】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的范围再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。 例15、若sin??510,sin??510，且?、?均为锐角，求???的值。【易错点分析】本题在解答过程中，若求
???的正弦，这时由于正弦函数在
?0,??区间内不单调故满足条件的角有两个，两个是否都满足还需进一步检验这就给
?0,??内单调，满足条件的角唯一。
?510且?、?,sin??510均为锐角即
均为锐角
解答带来了困难，但若求???的余弦就不易出错，这是因为余弦函数在
解析：由sin??510且?、?,sin??510均为锐角知解析：由sin?知cos??25310253105102,则cos??????由?、?,cos??????5105105102?????0,??故?????
【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三 角函数值确定角这是求角的必然步骤，在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称 同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧如：2?二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。 【练15】（1）在三角形ABC中，已知sin答案：
????????????等。
35A?,cosB?，求三角形的内角C的余弦值大小。
51316（提示确定已知角的余弦值，并结合已知条件确定角A的范围） 65（2）已知cos（α＋
3??）＝,≤α452＜
3?2，求cos（2α＋
?）的值. 4 - 10 -
