答案：cos?2?+??????????312?cos2???????=－?4?4?4?50??
【易错点16】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。 例16、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
cosBb??. （Ⅰ）求角
cosC2a?cB的大小（Ⅱ）若
b?13,a?c?4，求△ABC的面积.
【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思维受阻或解答出现增解现象。
【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。 （Ⅰ）解法一：由正弦定理
abc???2R得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC.将上式代入已知sinAsinBsinCcosBbcosBsinB??得??.即cosC2a?ccosC2sinA?sinC2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB?0.2sinAcosB?sin(B?C)?0.故A+B+C=?，
?sin(B?C)?sinA.?2sinAcosB?sinA?0.?sinA?0,?cosB??1.?B为三角形的内角，?B?2?.
解
法
二
：
由
余
弦
定
理
得
2a2?c2?b2b2?c2?a2cosB?,cosC?2ac2bc3将上式代入
coBsba2?c2?b22abb??得?222??. 整理得a2?c2?b2??ac. coCs2a?c2aca?b?c2a?c2a2?c2?b2?ac1?cosB????.?B为三角形的内角，?B??.
32ac2ac22222（Ⅱ）将b?13,a?c?4,B??代入余弦定理b?a?c?2accosB得
3113b2?(a?c)2?2ac?2accosB,?13?16?2ac(1?).?ac?3.?S?ABC?acsinB?3.
224【知识点归类点拔】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化（如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路），三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇，体现了高考命题的原则。
【练16】在?ABC中，a，b，c分别是?A，?B，?C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a求?A的大小及
2?c2?ac?bc，
bsinB的值。 c?答案：?A?60，
bsinB3?c2
【易错点17】求函数的定义域与求函数值域错位 例17、已知函数
22f?x??lg?m?3m?2x?2?m?1?x?5?????（1）如果函数f?x?的定义域为R求实数m的取
值范围。（2）如果函数
f?x?的值域为R求实数m的取值范围。
- 11 -
【易错点分析】此题学生易忽视对m2?3m?2是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义
域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。 解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值
?m2?3m?2?x2?2?m?1?x?5?0恒成立，令
g?x???m2?3m?2?x2?2?m?1?x?5，当m2?3m?2=0时，即m?1或2。经验证当m?1时适合，当
?m2?3m?2?0解之得m?1或m?3m?2?0时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需???0?2m?99综上所知m的取值范围为m?1或m?。 44（2）如果函数
f?x?的值域为R即对数的真数?m2?3m?2?x2?2?m?1?x?5能取到任意的正数，令
g?x???m2?3m?2?x2?2?m?1?x?5当m2?3m?2=0时，即m?1或2。经验证当m?2时适合，当
2?m?3m?2?09解之得2?m?综上可m2?3m?2?0时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需?4???0知满足题意的m的取值范围是2?m?9。 4【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。
【易错点18】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。 例18、下列命题： ①(a)2?(a)2?|a|4
②(a?b)?c③ ?(a?c)?b |a2b|=|a|2|b|④若a∥b,b∥c,则a∥c ⑤a∥
b，则存在唯一实数λ，使b⑥若a?c?b?c，且c≠o，则a?b⑦设e1,e2??a
是平面内两向量，则对于平面内
任何一向量a，都存在唯一一组实数x、y，使a则a=0或b=0真命题个数为（ ） A．1
B．2
C．3
?xe1?ye2成立。⑧若|a+b|=|a－b|则a2b=0。⑨a2b=0，
D．3个以上
【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。
解析：①正确。根据向量模的计算a?a?a2判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和
数乘的定义(a?c)?b表示和向量b共线的向量，同理(a?b)?c表示和向量c共线的向量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故(a?b)?c
?(a?c)?b不一定成立。③错误。应为a?b?ab- 12 -
④错误。注意零向量和任意向量平行。非
零向量的平行性才具有传递性。
⑤错误。应加条件“非零向量a”⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，
只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即
四边形为矩形。故a2b=0。⑨错误。只需两向量垂直即可。 答案：B
【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ2ｂ＝ｂ2ａ (交换律)②（λａ）2ｂ＝λ（ａ2ｂ）＝ａ2（λｂ） (数乘结合律)③(ａ＋ｂ)2с＝ａ2с＋ｂ2с (分配律)说明：（1）一般地，(ａ2ｂ)с≠ａ（ｂ2с）（2）ａ2с＝ｂ2с，с≠0?ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ2с＋ａ2ｄ＋ｂ2с＋ｂ2ｄ，(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ2ｂ＋ｂ 【练18】若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（ ） ．．．
２
２
２
２
２
A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）2c=a2c+b2c C.m（a+b）=ma+mb D.（a2b）c=a（b2c）
答案： D
【易错点19】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 例19、已知?ABC中,a?5,b?8,c?7,求BC?CA
【易错点分析】此题易错误码的认为两向量BC和CA夹角为三角形ABC的内角C导致错误答案. 解析:由条件a即
?5,b?8,c?7根据余弦定理知三角形的内角C?60?，故两向量BC和CA夹角为C?60?的补角
BC,CA?120?,故据数量积的定义知BC?CA?5?8?cos120???20.
【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾斜角的取值范围是
????????0,180?，两直线的夹角的范围是??0,90??，两向量的夹角的范围是??0,180??，异面直线所成的角的范围是
?0,90??，直线和平面所成的角的范围是??0,90??二面角的取值范围是?0,180?。
??????【练19】在ΔABC中，有如下命题，其中正确的是（） （1）AB?AC?BC（2）AB?BC?CA?0（3）若AB?AC?AB?AC?0，则ΔABC为等腰三角形
????（4）若
AC?AB?0，则ΔABC为锐角三角形。
A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（3） D、（2）（3）（4） 答案：C
【易错点20】向量数积积性质的应用。
例20、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a ? 5b垂直，a ? 4b与7a ? 2b垂直，求a与b的夹角。 【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。
解析：由 (a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a + 16a?b ?15b = 0 ① (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a ? 30a?b +
2
2
2
a?bb218b = 0 ②两式相减：2a?b = b代入①或②得：a = b设a、b的夹角为?，则cos? = ∴? = ??2|a||b|2|b|22
2
2
2
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60?。
【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂ?ａ2ｂ＝０③ａ2ａ＝｜ａ｜或｜ａ｜＝２a?a?a2④ｃｏｓθ＝a?ba?b⑤｜ａ2ｂ｜≤｜ａ｜2｜ｂ｜ 【练20】已知向量a?(1,2),b(?2,?4),|c|?5,若(a?b)?c? D．150°答案：C
5,则a与c的夹角为（ ）A．30° 2B．60° C．120°
【易错点21】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。
x2y2??1上动点P到定点M?m,0?,其中0?m?2的距离PM例21、已知椭圆C：42M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线l,使l与椭圆C的两个交点A、B满足条件点）,若存在,求出l的方程,若不存在请说是理由。 【思维分析】此题解题关键是由条件解答。
的最小值为1.（1）请确定
OA?OB?AB（O为原
OA?OB?AB知OA?OB?0从而将条件转化点的坐标运算再结合韦达定理
?x2?x2y22??1得y?2?1??故解析：设p?x,y?，由424??PM2??x?m?2?x2??x2?12?2?1???2?1????x?2m??2?m2由于0?m?2且?2?x?2故当
4??4?2?20?2m?2时，PM的最小值为2?m2?1此时m?1，当2?2m?4时，x?2取得最小值为
2?4m?m2?2?1解得m?1,3不合题意舍去。综上所知当m?1是满足题意此时M的坐标为（1，0）。
（2）由题意知条件
OA?OB?AB等价于OA?OB?6?1,?，此时?0，当l的斜率不存在时，l与C的交点为????2??OA?OB?0，设l的方程为y?k?x?1?，代入椭圆方程整理得?1?2k2?x2?4k2x?2k2?4?0，由于点M
在椭圆内部故??0恒成立，由OA?OB?0知x1x2?y1y2?0即?1?k2?x1x2?k2?1?x2??k2?0，据韦达
4k2定理得x1?x2?1?2k22k2?4222222，x1x2?代入上式得?1?k??2k?4??k?4k?k?1?2k??0得21?2kk2??4不合题意。综上知这样的直线不存在。
【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。
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[易错点22]牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系. 例22、函数
y?x?e1?cosx 的导数为 。
yx??yu??ux?。
[易错点分析]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即
解析：
y??e1?cosx?x?e1?cosx???e1?cosx?xe1?cosx?1?cosx???e1?cosx?
xe1?cosxsinx??1?xsinx?e1?cosx
【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。 【易错点23】求曲线的切线方程。 例23、已知函数求函数
（0，2），且在点M（－1，（－f1））处的切线方程为6x?y?7?0. f(x)?x3?bx2?ax?d的图象过点P
y?f(x)的解析式；
【思维分析】利用导数的几何意义解答。 解析：（Ⅰ）由
32，知d=2，所以f(x)?x?bx?cx?2, f(x)的图象经过P（0，2）
f?(x)?3x2?2bx?c.由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0，知
3?2b?c?6,?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.????2b?c?3,即?解得b?c??3.故所求的解析
??1?b?c?2?1.?b?c?0,式是
f(x)?x3?3x2?3x?2.
由f(x0))处的切线的斜率．
【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0,此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点
P(x0,f(x0))处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
y轴，这时导数不存，根据切
y?y0?f'(x0)(x?x0)特别地，如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于
线定义，可得切线方程为x到这一点.
【练23】已知函数
?x0。利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意
f(x)?ax?6的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0. x2?b求函数y=f(x)的解析式；答案：
f(x)?2x?6 2x?3【易错点24】利用导数求解函数的单调区间及值域。
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