第六章 振动
P176．
6．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；
（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．
[解答]（1）设物体的简谐振动方程为
x = Acos(ωt + υ)， 其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．
当t = 0时，x = 0.06m，所以
cosυ = 0.5，
因此
υ = ±π/3．
物体的速度为
v = dx/dt = -ωAsin(ωt + υ)． 当t = 0时，
v = -ωAsinυ，
由于v > 0，所以sinυ < 0，因此
υ = -π/3．
简谐振动的表达式为
x = 0.12cos(πt – π/3)． （2）当t = T/4时物体的位置为 x = 0.12cos(π/2 – π/3)
= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为
v = -πAsin(π/2 – π/3)
= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)． 加速度为
a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + υ) = -π2Acos(πt - π/3)
= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m
时，可得
cos(πt1 - π/3) = -0.5，
因此
πt1 - π/3 = ±2π/3．
由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此
36
πt1 - π/3 = 2π/3，
得t1 = 1s．
当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此 cos(πt2 - π/3) = 0，
可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等． 由于t2 > 0，所以
πt2 - π/3 = 3π/2，
可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．
所需要的时间为
Γt = t2 - t1 = 0.83(s)．
方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此 cos(πt - π/3) = 0，
可得 πt - π/3 = π/2， 解得 t = 5/6 = 0.83(s)．
[注意]根据振动方程
x = Acos(ωt + υ)，
当t = 0时，可得
υ = ±arccos(x0/A)，（-π < υ≦π）， 初位相的取值由速度决定． 由于
v = dx/dt = -ωAsin(ωt + υ)， 当t = 0时，
v = -ωAsinυ，
当v > 0时，sinυ < 0，因此 υ = -arccos(x0/A)；
当v < 0时，sinυ > 0，因此
υ = arccos(x0/A)． 可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，υ = 0；当初位置x0 = -A时，υ = π．
6．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：
（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为
T；
（2）振动表达式；
（3）画A/2 出旋转矢量O 图．
[解答]方法一：由位相求时间．
x A cosυ = 0.5，
a b c d e 图6.2
t 因此
υ = ±π/3；
由于零时刻的位相小于a点的位相，所以
υ = -π/3， 因此振动表达式为
x?Acos(2?tT??3)．
另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程． （3）如图旋转矢量图所示．
方法
x 二：由时间A 求位相．将
A/2 曲线反方f O 向延长与t
轴相交于f点，由于xf = 0，根据
运动方程，可得
cos(2?tT??3)?0
（1）设曲线方程为
x = AcosΦ，
其中A表示振幅，Φ = ωt + υ表示相位．
由于xa = A，所以 cosΦa = 1，
因此 Φa = 0． 由于xb = A/2，所以
cosΦb = 0.5，
因此 Φb = ±π/3；
由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此
Φb = π/3． 由于xc = 0，所以
cosΦc = 0，
又由于c点位相大于b位相，因此
Φc = π/2．
同理可得其他两点位相为
Φd = 2π/3，Φe = π．
c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为 ta = T/6． 到达b点的时刻为 tb = 2ta = T/3．
到达c点的时刻为
tc = ta + T/4 = 5T/12．
到达d点的时刻为
td = tc + T/12 = T/2． 到达e点的时刻为
te = ta + T/2 = 2T/3． （2）设振动表达式为
x = Acos(ωt + υ)，
当t = 0时，x = A/2时，所以
d e c b a O υ A x a b c d e t 所以
2?tfT??3???2．
显然f点的速度大于零，所以取负值，解得
tf = -T/12．
从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为 ta = T/4 + tf = T/6，
其位相为
?a?2?taT??3?0．
由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．
37
6．3 有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为9.8×10m．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．
（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程；
（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m·s速度向上运动，求运动方程．
[解答]当物体平衡时，有
Mg – kx0 = 0，
所以弹簧的倔强系数为
k = Mg/x0，
物体振动的圆频率为
??k/M?-1
-2
置．
[解答]（1）比较简谐振动的标准方程
x = Acos(ωt + υ)，
可知：圆频率为
ω =8π， 周期
T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，
振幅为
A = 0.1(m)，
初位相为
υ = 2π/3． （2）速度的最大值为 vm = ωA = 0.8π = 2.51(m·s)； 加速度的最大值为
am = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s-2)． （3）弹簧的倔强系数为 k = mω，
最大回复力为
f = kA = mω2A = 0.632(N)； 振动能量为
E = kA2/2 = mω2A2/2 = 3.16×10-2(J)， 平均动能和平均势能为
Ek?Ep= kA/4 = mωA/4 = 1.58×10(J)．
2
2
2
-2
2
-1
s)． g/x0= 10(rad·-1
设物体的运动方程为
x = Acos(ωt + υ)．
（1）当t = 0时，x0 = -8.0×10-2m，v0 = 0，因此振幅为
A?10(m)； x0?(v0/?)?|x0|= 8.0×
22-2
由于初位移为x0 = -A，所以cosυ = -1，初位
相为
υ = π．
运动方程为
x = 8.0×10-2cos(10t + π)． （2）当t = 0时，x0 = 0，v0 = -0.60(m·s-1)，因此振幅为 A?x0?(v0/?)= |v0/ω| = 6.0×10-2(m)；
22（4）如图所示，当t为1，
2，10s等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．
t=1,2,10s A O x 由于cosυ = 0，所以υ = π/2；运动方程为
x = 6.0×10-2cos(10t + π/2)．
6．4 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?2?3)的规
6．5 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．
[解答]设它们的振动方程为
x = Acos(ωt + υ)，
当x = A/2时，可得位相为
ωt + υ = ±π/3．
由于它们在相遇时反相，可取 Φ1 = (ωt + υ)1 = -π/3， Φ2 = (ωt + υ)2 = π/3，
它们的相差为
ΓΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3，
38
律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；
（2）振动的速度、加速度的最大值； （3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；
（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位
或者
ΓΦ` =
2π –ΓΦ = 4π/3．
矢量图
如图所示．
A O x 的支持力
N = G + F = m(g +am)
= m(g +ω2A) = 12.96(N)．
（2）当物体的最大加速度向下时，板的支持为
N = m(g - ωA)．
当重物跳离平板时，N = 0，频率不变时，振幅为
A = g/ω = 3.2×10(m)． （3）振幅不变时，频率为 ???2π2
-2
2
6．6 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m =
-2714
1.68×10kg，振动频率v = 1.0×10Hz，振幅A = 1.0×10-11m．试计算：
（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量． [解答]（1）氢原子的圆频率为
ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s-1)， 最大速度为
vm = ωA = 6.28×103(m·s-1)．
（2）氢原子的能量为
E?12210(J)． mvm= 3.32×
?12?gA= 3.52(Hz)．
6．8 两轻弹簧与小球串连在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A和B之间，整个系统放在光滑水平面上．设两弹簧的原长分别为l1和l2，倔强系统分别为k1和k2，A和B间距为L，小球的质量为m．
（1）试确定小球的平衡位置；
（2）使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否
A k1 m 图6.8 k2 B -20
6．7 如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物，若使平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为0.50s，振幅为2.0×10-2m，求：
图6.7 为简谐振
动？振动周期为多少？
[解答]（1）这里不计小球的大小，不妨设L > l1 + l2，当小球平衡时，两弹簧分别拉长x1和x2，因此得方程
L = l1 + x1 + l2 + x2；
小球受左右两边的弹簧的弹力分别向左和向右，大小相等，即
k1x1 = k2x2．
将x2 = x1k1/k2代入第一个公式解得
x1?k2k1?k2(L?l1?l2)．
（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；
（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板？
（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板？
[解答]（1）重物的圆频率为 ω = 2π/T = 4π，
其最大加速度为
am = ωA，
合力为
F = mam，
方向向上．
重物受到板的向上支持力N和向下的重力G，所以合力为
F = N – G．
重物对平板的作用力方向向下，大小等于板
2
小球离A点的距离为
L1?l1?x1?l1?k2k1?k2(L?l1?l2)．
（2）以平衡位置为原点，取向右的方
向为x轴正方向，当小球向右移动一个微小
39
距离x时，左边弹簧拉长为x1 + x，弹力大小为
f1 = k1(x1 + x)，
方向向左；右边弹簧拉长为x1 - x，弹力大小为
f2 = k2(x2 - x)，
方向向右．根据牛顿第二定律得 k2(x2 - x) - k1(x1 + x) = ma，
利用平衡条件得
mdxdt22A?v0m?Mk= 5×10(m)．
-2
（2）振动的圆频率为
??km?M= 40(rad·s)．
-1
取木块静止的位置为原点、向右的方向为位
移x的正方向，振动方程可设为
x = Acos(ωt + υ)．
当t = 0时，x = 0，可得
υ = ±π/2；
由于速度为正，所以取负的初位相，因此振
动方程为
x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)．
6．10 如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量
?(k1?k2)x?0，
可见：小球做简谐振动．
小球振动的圆频率为
??k1?k2m，
其周期为
T?2πk x1 x 2m M x 图6.10
O ??2?mk1?k2．
为M的托盘．质量为m的物体由距盘底高h处自由下落h 与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．
6．9 如图所示，质量为10g的子弹以速度v = 103m·s-1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压M k m v 缩而作简谐振动．设弹簧的
图6.9 倔强系数k =
8×10N·m，木块的质量为4.99kg，不计桌
面摩擦，试求：
（1）振动的振幅； （2）振动方程．
[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即
mv = (m + M)v0． 解得子弹射入后的速度为
v0 = mv/(m + M) = 2(m·s)，
这也是它们振动的初速度．
子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得
(m + M) v02/2 = kA2/2，
所以振幅为
-1
3
-1
[解答]物体落下后、碰撞前的速度为
v?2gh，
物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为
v0?mm?Mv?mm?M2gh，
这也是它们振动的初速度．
设振动方程为
x = Acos(ωt + υ)，
其中圆频率为
??km?M．
物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x1，则
x1 = Mg/k．
40
