c??度v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，
?两镜面中心的连线与v平行，在铁轨参考系
?0?2L0．若将这个光钟横放在一个以速
和 ly = lsinθ．
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，
即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得
`2lx?lx1?(v/c)，
中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？
[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时，所以它们的关系为
???01?(v/c)2因此
tan?`?lyl`x`?tan?1?(v/c)2，
可得夹角为
．
?`?arctan{[1?(v/c)]2?1/2tan?}．
5．3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Γt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Γt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
?t`??t1?(v/c)2
5．5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换公式
x`?x?vt1?(v/c)2和t`?t?vx/c2，
21?(v/c)得两个事件的空间和时间间隔公式
?x`??x?v?t1?(v/c)?t`?2， ，
即 5?41?(v/c)2，
?t??xv/c1?(v/c)22． （1）
可以求两系统的相对速度为
v = 3c/5．
在S`系中A和B两事件的空间距离为
Γl` = vΓt` = 3c = 9×10(m)．
5．4 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？
[解答]直杆y 在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为
lx = lcosθ
S` 8
由题意得：Γt = 0，Γx = 1m，Γx` = 2m．因此
?x`??x1?(v/c)?t`???xv/c22，
2．（2）
1?(v/c)由（2）之上式得它们的相对速度为
y` v l θ O` x` v?c1?(?x/?x`)． （3）
2S 将（2）之下式除以（2）之上式得
?t`?x`??vc2，
O x 所以
31
?t`???x`c21?(?x?x`2S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．
) 2[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为
t?t?`2`1??1c(?x`)?(?x)= -0.577×10-8(s)．
t2?t1?v(x2?x1)/c1?(v/c)22
[注意]在S`系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Γx` = 2m可以大于间隔Γx = 1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Γx`就表示运动长度，就不可能大于本征长度Γx，这时可以用长度收缩公式?x`??x1?(v/c)，计算它们的相对速度．
5．6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？
[解答]以地球为S系，则Γt = 10s，Γx = 100m．根据洛仑兹空间时间变换公式
x`?x?vt1?(v/c)2?8?4?0.8(40?20)/c0.6≈6.67(s)．
空间间隔为
x2?x1?``x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)22
?40?20?0.8c?(8?4)0.6≈-1.6×109(m)．
5．8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察者以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察
和t`?t?vx/c2，
21?(v/c)飞船上观察运动员的运动距离为
?x`??x?v?t1?(v/c)100?0.8c?101?0.822 者测得的杆长若何？
[解答]在S
y y`` y` 系中的观测的
v20 S` v10 杆长Γl = 10mS S`` O` 是运动长度，相
O`` 对杆静止的参考系为S`，其O x` x`` x ?≈-4×10(m)．
9
长度是本征长度，设S`系相对S系的速度为v10，根据尺缩效应?l??l`1?(v10/c)，
2运动员运动的时间为
?t`??t?v?x/c1?(v/c)?10?0.8?100/c0.62可得杆的本征长度为
?l`??l1?(v10/c)22
≈16.67(s)．
?101?0.982在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于
地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×10m．
5．7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求
32
9
= 50.25(m)．
另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为
v12?v10?v201?v10v20/c2
?0.98c?(?0.8c)1?0.98(?0.8)= 0.99796c．
x2?x1?``x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)2， (1)
在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度
?l``??l`1?(v12/c)= 3.363(m)．
2t?t?`2`1t2?t1?(x2?x1)v/c1?(v/c)22．(2)
其中t2 – t1 = 5s．在S`系中碰撞发生在同一点，即x`2 = x`1，由(1)式得
x2 – x1 = v(t2 – t1)， 代入(2)式得
t?t?`2`1[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v10表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．
5．9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
[解答]方法一：用时间膨胀公式．以地面为S系，以飞船为S`系，S和S`系对应的方向平行，飞船的方向与S系中x轴的方向相同v = 0.6c．
y` S` O` v ux x` x` t2?t1?(t2?t1)v/c1?(v/c)222
?(t2?t1)1?(v/c)= 4(s)．
2方法三：用洛仑兹逆变换．根据洛仑兹时间逆变换公式可得
t2?t1?t2?t1?(x2?x1)v/c1?(v/c)2````2，
由于x`2 - x`1 = 0，所以
t2?t1?t2?t1``，
21?(v/c)y S O y` S` O` 可得
t2?t1?(t2?t1)1?(v/c)= 4(s)．
``2x 设S`系中飞船与慧星碰撞的时间间隔
为Γt`，由于碰撞发生在S`系中的同一处，因此Γt`是本征时．在S系中的时间间隔为Γt = 5s，这是运动时．根据时间膨胀公式
?t??t`1?(v/c)2[注意]此题用时间膨胀的公式最简单，如果两事件发生在不同地点和不同时间，就一定要用洛仑兹变换．
此题结果与慧星的速度无关，如果要计算慧星与飞船的相对速度，就需要利用慧星的速度值．
5．10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．
[解答]y` S` y 方法一：用v=u 地球 速度变O` S 换．取太阳c 星光 -u 系为S系，
O 太阳 地球为S`
，
可得飞船上观察到的时间间隔为
?t`??t1?(v/c) 2?51?0.6= 4(s)．
2方法二：用洛仑兹正变换．飞船与慧星
碰撞前后在S系中的时空坐标为(x1,t1)和(x2,t2)，在S`系中的时空坐标为(x`1,t`1)和(x`2,t`2)，根据洛仑兹坐标变换公式可得
x` uy` θ` x 33
系．在S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为
ux = 0，uy = c．
星光在S`系中的速度分量为
ux?`论算得的二倍时，其速度是多少？ [解答]（1）粒子的非相对论动能为
Ek = m0u2/2，
相对论动能为
E`k = mc2 – m0c2， 其中m为运动质量
m?m01?(u/c)2ux?v1?uxv/c222??u
．
uy?`uy1?v/c1?uxv/c222
m0c2根据题意得
22c?u ?c1?u/c?星光在S`系中的速度为
u?`1?(u/c)2?m0c?m0u，
22u`2x?u`2y?c，
设x = (u/c)2，方程可简化为
11?x?1?x，
即光速是不变的．
星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为
或 1?(1?x)?1x， 平方得
1 = (1 – x2)(1 - x)，
化简得
x(x2 – x -1) = 0． 由于x不等于0，所以
x2 – x -1 = 0． 解得
x?1?25?`?arctan|ux|uy``?arctanuc?u22．
方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c．
当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为ux` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为
u?`yc?u/?2`2xc?u，
22，
从而可求出星光速度垂直地面的夹角为 取正根得速率为
u?c1?25?`?arctan|ux|uy``?arctanuc?u22．
= 0.786c．
[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．
此题与书中的例题5.4类似，这里的太阳相当于5.4题中的地球，这里的地求相当于乙飞船，星光相当于甲飞船．
5．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对
（2）粒子的非相对论动量为 p = m0u，
相对论动量为
p`?mu?m0u1?(u/c)2，
根据题意得方程
m0u1?(u/c)2?2m0u．
很容易解得速率为
34
u?32c= 0.866c．
?3?10?2.6?108?6(1?30)?1 2= 24167.4(m)．
5．13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：
uc?1?E0E22
5．12 某快速运动的粒子，其动能为4.8×10J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10s，求其能通过的距离．
[解答]在相对论能量关系中
E = E0 + Ek，
静止能量E0已知，且E0 = m0c，总能量为 E?mc?2-16
．
-6
[证明]根据上题的过程已得
u?c1?(E0E0?Ek)，
22
m0c22?E01?(u/c)2，
1?(u/c)化得
1?(u/c)?2E0E?E0E0?Ek将E = E0 + Ek代入公式立可得证．
5．14 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．
[解答]在结合过程中，质量亏损为 Γm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)， 取c = 3×10(m·s)，可得释放出的能量为
ΓE = Γmc2 = 3.554893×10-13(J)． 如果取c = 2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为
ΓE = 3.549977×10-13(J)．
8
-1
，
解得速率为
u?c1?(E0E0?Ek2)．
粒子的运动时为
?t??t`1?(u/c)2??t`E0?EkE0．
粒子能够通过的距离为
?l?u?t?c?t`(E0?EkE0)?1 2
35
