第二章 质点力学的基本定律
P46．
2．1 如图所示，把一个质量为m的木块放在与水平成θ角的固定斜面上，两者间的静摩擦因素μs较小，因此若不加支持，木块将加速下滑．
（1）试证tanθ≧μs；
?（2）须施加多大的水平力F，可使木
上式代入（2）得
N?mgcos???ssin?F ．（4）
m θ 图2.1
（3）[解答]当木块相对静止时，由力的
平衡条件得
Gsinθ - f - Fcosθ = 0，N - Gcosθ - Fsinθ = 0． 解得
f = Gsinθ - Fcosθ，N = Gcosθ + Fsinθ．
?可知：①当F的大小不断增加时，摩擦力将
块恰不下滑？这时木块对斜面的正压力多大？
（3）如不断增大F的大小，则摩擦力和正压力将有怎样的变化？
（1）[证明]木块在斜面上时受到重力
???G?mg和斜面的支持力N以及静摩擦力
?f，其中
?不断减小，方向还是沿斜面向上的；当F = Gtanθ时，摩擦力为零；当F再增加时摩擦力将反向，并且不断增加．当F增加到某一值时，则可能打破平衡．
②正压力将随F的增加而增加． [讨论]当tanθ < 1/μs时，如果木块恰好不上滑，则摩擦力恰好等于最大静摩擦力，方向沿着斜面向下，用上面的方法列方程，可得
f ≦ fs = μsN， 而 N = Gcosθ． 要使木块加速下滑，重力沿着斜面
N m f F?sin???scos?cos???ssin?mg．
的分量不得小于
最大静摩擦力fs．根据牛顿第二定律得
Gsinθ - μsGcosθ = ma≧0， 因此tanθ≧μs． 证毕．
（2）[解答]要使物体恰好不下滑，则有 Gsinθ - μsN - Fcosθ = 0， （1） N - Gcosθ - Fsinθ = 0． （2） （2）×μs +（1）得
N θ G 将（3）式中的μs改为-μs就是这个结果．可见：当tanθ = 1/μs时，F趋于无穷大，只有
当tanθ < 1/μs时，才可能增加F的大小使木块向上加速滑动．
2．2 如图所示，设质量m = 10kg的小
m f θ x F 球挂在倾角α = 30°的光滑斜面上，求：
（1）当斜面以加速度a = g/3沿图中所示的方向运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大？
（2）当斜面的加速
α 图2.2 N y T x α G a a y θ G Gsinθ - μsGcosθ – Fcosθ - μsFsinθ = 0， 解得
F?sin???scos?cos???ssin?mg． （3）
6
度至少为多大时小球对斜面的正压力为零？（g = 9.8m·s）
[解答]（1）小球受到重力G，斜面的支持力N和绳子的张力T．建立坐标系，列方程得
Ncosα + Tsinα – mg = 0， Tcosα - Nsinα = ma．
解得N = m(gcosα – asinα) = 68.54(N)，
T = m(gsinα + acosα) = 77.29(N)．
（2）令N = 0，得加速度为 a = gcotα = 16.97(m·s)．
2．3 物体A和B的质量分别为mA = 8kg，mB = 16kg，它们之间用绳子联结，在倾角α = 37°的斜面上向下滑动，如图所示．A和B与斜面的滑
B 动摩擦因素分别
A 为μkA = 0.2，μkB = 0.4，求： （1）物体A
和B的加速度；
α 图2.3
-2
-2
= 3.26(m·s)．
（2）将加速度a的公式代入任一方程都可解得张力为
T?(?kB??kA)mAmBgcos?mA?mB-2
= 3.86(N)．
由此可见：当两物体的摩擦因素相等时，张力才为零，这是因为它们的加速度相等．
（3）将A和B互换位置后，由于A的加速度比较大，所以绳子不会张紧，其张力为零．
A的运动方程为
mAgsinα – μkAmAgcosα = mAaA，
解得 aA = g(sinα – μkAcosα) = 4.12(m·s-2)． 同理得aB = g(sinα – μkBcosα) = 2.7(4m·s-2)．
2．4 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度v0运动，
?v0的方向与斜面底边的水平约AB平行，如
?（2）绳子的张力；
（3）如果将A和B互换位置，则（1）和（2）的结果如何？
[解答]根据角度关系可得sinα = 3/5 = 0.6，cosα = 4/5 = 0.8，tanα = 3/4 = 0.75．
（1）如果物体A和B之间没有绳子，由于tanα≧μs，可知：A和B都要沿斜面做加速运动，而B的加速度比较小．当A和B之间有绳子时，它们将以相同的加速度运动．
设绳子的张力为T，根据牛顿第二定律分别对A和B列运动方程：
NA A α mAg fA T NB B fB T mBg 图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]质点在
v0 斜上运动的加速度
P 为a = gsinα，方向与初速度方向垂A 直．其运动方程为
x = v0t，y?12at?2α B 图2.4
12gsin??t．
2将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
y?gsin?v20x，
2这是抛物线方程．
2．5 桌上有一质量M = 1kg的平板，板上放一质量m = 2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk = 0.25，静摩擦因素为μs = 0.30．求：
?（1）今以水平力F拉板，使两者一起
mAgsinα – μkAmAgcosα - T = mAa， T + mBgsinα – μkBmBgcosα = mBa． 两式相加得
[(mA + mB)sinα – (μkAmA + μkBmB)cosα]g = (mA + mB)a， 所以加速度为
a?g[sin???kAmA??kBmBmA?mBcos?]
以a = 1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；
7
（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？
[解答]（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用．
板对物体的支持大小等于物体的重力 Nm = mg = 19.6(N)，
这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反．
物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为
fm = ma = 2(N)，
fM 这也是板受到的摩擦
力的大小，摩擦力方向也相反．
板受桌子的支持力大小等于板和物体的重力
NM = (m + M)g = 29.4(N)，
这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反．
板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为
fM = μkNM = 7.35(N)． 这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反．
（2）设物体在Nm 最大静摩擦力作用f a` 下和板一起做加速NM 度为a`的运动，物f F 体的运动方程为 f =μsmg = ma`， 可得 a` =μsg．
f ` NM Nm fm a 不计）
T1 a1 m1 f1 a2 f2 m2 T2 图2.6
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2 = 2a1，而力的关系为T1 = 2T2．
对两物体列运动方程得
T2 - μm2g = m2a2，
F – T1 – μm1g = m1a1． 可以解得m2的加速度为
a2?F??(m1?2m2)gm1/2?2m2= 4.78(m·s)，
-2
绳对它的拉力为
T2?m2m1/2?2m2(F??m1g/2)= 1.35(N)．
2．7 两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式
1k?1k1?1k2；
（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1 + k2．
[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和
k1 (a) k1 F k2 图2.7
(b) k2 F 这就是物体的最大加速度．
这时板的运动方程为 F – f – μk(m + M)g = Ma`， 即 F = f + Ma` + μk(m + M)g = (μs + μk)(m + M)g，
算得 F = 16.17(N)．
当外力大于16.17N时，板的加速度就会大于物体的最大加速度，因此要将板从物体下面抽出，需要大于16.17N的力．
2．6 如图所示：已知F = 4N，m1 = 0.3kg，m2 = 0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均
x2，产生的弹力分别为
F1 = k1x1，F2 = k2x2． （1）由于弹簧串联，所以 F = F1 = F2，x = x1 + x2， 因此
Fk?F1k1?F2k2，即
1k?1k1?1k2．
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（2）由于弹簧并联，所以 F = F1 + F2，x = x1 = x2，
因此 kx = k1x1 + k2x2，即k = k1 + k2．
2．8 如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．
（1）小车沿水平线作匀速运动；
（2）小车以加速
?度a1沿水平方向运动；
Tsinθ = max =
mbcosυ， ① Tcosθ – mg = may = mbsinυ．②
由(2)式得 Tcosθ = mg + mbsinυ．③
①除以③得 tan??bcos?g?bsin?y θ T mb υ mg x υ （ 4） ，
①的平方加③的平方得
T = (mbcosυ) + (mg + mbsinυ)，
公式化简再开平方得张力为
T?mb?g?2bgsin?．
22（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成υ角；
（4）用与斜面平
?行的加速度b1把小车沿斜面往上推（设b1 = b）；
?（5）以同样大小的加速度b2（b2 = b），
222
图2.8 （5）与上一问
相比，加速度的方向反向，只要将上一结果中的b改为-b就行了． [讨论]第（1）、第（2）和第（3）问比较简单，第（5）问可由第（4）问得出，而第（4）问除前面的一种用正直
T θ mb mg υ 5）（ y θ T x 将小车从斜面上推下来．
[解答]（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为T = mg． （2）小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力．由于 tanθ = ma/mg， 所以θ = arctan(a/g)； 绳子张力等于摆所受的拉力
T?(ma)?(mg)?ma?g．
2222θ T ma mg （2）
角坐标系的解法之
外，还有多种解法．
方法二：用斜坐标系．张力T与x轴正向的夹角为
mb υ mg υ （ 4） 90° – θ – υ，重力mg与y轴负向的夹角为υ，
可列方程
Tcos(90° – θ – υ) – mgsinυ = mb，① Tsin(90° – θ – υ) – mgcosυ = 0． ② 即 Tsin(θ + υ) = mb + mgsinυ， ③ Tcos(θ + υ) = mgcosυ． ④ 由③和④解得张力为
（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以
θ = υ；
θ ma T mg υ T?mb?g?2bgsin?， ⑤
22T = mgcosυ． （ 3） （4）建立水平
和竖直直角坐标系，可列方程
摆线与竖直线的夹角为
??arctanb?gsin?gcos???． ⑥
9
这个角度也是一种结果，它可以化成前面的形式．
b?gsin?设 ??arctan，
gcos?b?gsin?gcos?
2．9 如图所示：质量为m = 10kg的小球，拴在长度l = 5m的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求： （1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？
（2）在θ < 60°
O θ B 图2.9
C l m 则 tan??于是
．
tan??tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?sin?
的任一位置时，求小
球速度v与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？
（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？ [解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mgsinθ，
b?gsin??1?gcos?cos?
b?gsin?sin?gcos?cos??O l θ T m ?bcos?bsin??g，
B C mg bcos?因此 ??arctan．
bsin??g负号表示角度θ增加的方向为正方向．
小球的运动方程为
F?ma?mdsdt22方法三：用矢量三角形．张力T、重力mg（虚线）和mb构成一个矢量
θ T ，
mb υ 其中s表示弧长．由于s = Rθ = lθ，所以速度为
dsdtd?dt三角形，延长竖直mg 虚线，与水平虚线相交，可知张力T
的对角为180° - (90° – υ) = 90° + υ，根据余弦定理可得张力为
T?(mb)?(mg)?2(mb)(mg)cos(90???) ?mb?g?2bgsin?．
2222υ （ 4） v??l，
因此
F?mdvdtvB?mdvd?d?dt0?mlvdvd?，
即 vdv = -glsinθdθ， （1） 取积分
?0vdv??gl?2B60?sin?d?，
0张力与竖直虚线和水平虚线构成一直角三角形，θ角的对边是mbcosυ，邻边是mg + mbsinυ，由此可得：
tan??mbcos?mg?mbsin?得 解得
12v?glcos?60?，
，
vB?gl= 2.21(m·s)．
vBR2-1
由此可得⑥式．
由于TB?mg?m10
?mvBl2?mg，
