所以TB = 2mg = 1.96(N)．
（2）由（1）式积分得
12?vC?2grcos?，
角速度为
，
?v?glcos?602C??vCr?2gcos?r．
因此速度为
vC?gl(2cos??1)．
由于NC – mgcosα = 2mgcosα，所以
NC = 3mgcosθ．
2．11 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，
切向加速度为
at = gsinθ；
法向加速度为
an?v2Cm N h mg 图2.11
θ R?g(2cos??1)．
它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）
[解答]小石块在
由于TC – mgcosθ = man，所以张力为 TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ – 1)． （3）当 θ = 60o时，切向加速度为
at?32s)， g= 8.49(m·
-2
运动中受到重力和轨
道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则
F = mgcosθ．
小球的运动方程为
F?ma?mdsdt22法向加速度为
an = 0，
绳子的拉力
T = mg/2 = 0.49(N)．
[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．
2．10 一质量为m的小球，最初静止于如图所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面A B ADCB下滑．试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的
α r D 图2.10
C ，
s表示弧长．
由于v = ds/dt，所以 dsdt22?ddtdt(ds)?dvdt?dvdsdsdt?vdvds，
因此 vdv = gcosθds = gdh， h表示石下落的高度． 积分上式得
12vhv20?gh0，
作用力．
[解答]此题情形与上一题的数学类型是相同的．
取上题中l = r，对（1）式积分
vC因此速率为 v?2gh．
?0vdv??gr?122C??90?sin?d?，
?
2．12 质量为m的物体，最初静止于x0，在力f??kx2(k为常数)作用下沿直线
得 v?rgcos??90?，
解得速度为
运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛
11
顿第二定律得方程
f??kx2 当n = 2时，即证明了本题的结果．
dxdt22?ma?m
利用v = dx/dt，可得
dxdt22 2．13 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系
，
数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为正，根据牛顿第二定律得方程
dvdt?dvdt?dxdvdtdx?vdvdx因此方程变为
mvdv??kdxx2，
积分得
12vmv20?kxx，
x0f??mg?kv?m，
分离变量得
，
dt??mdvmg?kvmk即
12mv?2kx?kx0??md(mg?kv)kmg?kvv，
所以 v?2km(1x?x01)． 证毕．
积分得 t??ln(mg?kv)
v0[讨论]此题中，力是位置的函数：f =
f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
如果f(x) = -k/xn，则得
12mv??k?2??mklnmg?kvmg?kv0??mklnmg/k?vmg/k?v0，
小球速率随时间的变化关系为
v?(v0?mgk)exp(?ktm)?mgkdxxxn． ．
（1）当n = 1时，可得
12mv??klnxx02?klnx0x（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为
．
T?mklnmg/k?v0mg/k?mkln(1?kv0mg)．
即 v?2kmlnx0x．
[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．
由于v = dx/dt，所以
x（2）如果n≠1，可得
12mv??2k1?nx1?nx0
即
1x0)， n?1dx?[(v0?mgk)exp(?ktm)?mgk]dt，
?kn?1x(1n?1?dx??m(v0?mg/k)kdexp(?ktm)?mgkdt，
积分得
)．
x??m(v0?mg/k)kexp(?ktm)?mgkt即 v?2k(n?1)mx(1n?1?1xn?10t0
12
?m(v0?mg/k)k[1?exp(?ktm)]?mgkt．
解得 v?由于
dx?v01??kv0t/R．
（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为
f?mg?kv?mdvdtv0dt1??kv0t/R，
?Rd(1??kv0t/R)?k1??kv0t/R，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为
v?mgk?(mgk?v0)exp(?ktm)．
积分得
x?Rln(1??kv0tRt?k)0
这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm = mg/k．
2．14 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求
A v0 R 图2.14 ?R?kln(1??kv0tR)．
*2．15
2．16 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为
F = mgtanθ．
珠子做圆周运动的半径为 r = Rsinθ．
根据向心力公式得
F = mgtanθ = mω2Rsinθ，
可得
mgω 此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N = mv2/R．
物体所受的摩擦力为
f = -μkN，
负号表示力的方向与速度的方向相反．
根据牛顿第二定律得
f???kmv2θ r R m mg 图2.16
R?mdvdt，
即 积分得
?kR?kRdt??dvv2．
t?1vv?v01v?1v0，
cos??R?，
g2解得 ???arccos2．
R?
13
第三章 运动的守恒定律
P84．
3．1 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而
F O x 图3.1 m x 由此可作矢量三角形，可得
?p?2p?2mv．
因此向心力给予小球的的冲量大小为
s)． I??p= 1.41(N·
[注意]质点向心力大小为F = mv2/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
I?Ft?mvTR4?2位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲
量的定义得
dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为
I? ?2?π/2??mv2?R/TTR4mv．
0(?kAcos?t)dt，
π/2???kA?sin?t0??kA假设小球被轻绳拉着以角速度ω
= v/R运动，拉力的大小就是向心力 F = mv/R = mωv， 其分量大小分别为 Fx = Fcosθ = Fcosωt，
Fy = Fsinθ = Fsinωt， 给小球的冲量大小为 dIx = Fxdt = Fcosωtdt， dIy = Fydt = Fsinωtdt， 积分得
Ix?2
y Fx F O m Fy R x ?方法二：利用动量定理．小球的速度为
v = dx/dt = -ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为
p1 = mv1 = 0， 末动量为
p2 = mv2 = -mωA， 小球获得的冲量为
I = p2 – p1 = -mωA，
可以证明k =mω2，因此
I = -kA/ω．
3．2 一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？
[解答]小球动量的大小为
p = mv，
但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
????p?p2?p1 ???得p2?p1??p，
?T/40Fcos?tdt?FT/4?sin?t0
?F??mv，
Iy??FT/40Fsin?tdt??FT/4?cos?t0
Γp p2 p1 p1 m R ???mv，
合冲量为
I?Ix?Iy?222mv，
所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
14
3．3 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
[解答]球上升初速度为
vy?v = at = 2(m·s)．
物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相
同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得
2Mv = 3Mv`，
因此C开始运动的速度为
v` = 2v/3 = 1.33(m·s)．
3．5 一个原来静止的原子核，放射性蜕变时放出一个动量p1 = 9.22×10g·cm·s
-16
-1-16
-1
-1
-1
s)， 2gh= 14(m·-1
其速度的增量为
?v?s)． vx?vy= 24.4(m·Γv vx 22-1
的电子，同时还在垂直于此电子运动的方向上放出一个动量p2 = 5.33×10g·cm·s的中微子．求蜕变后原子核的动量的大小和方向．
[解答]原子核蜕变后的总动量大小为
p?p1?p2= 10.65×10-16(g·cm·s-1)．
22棒给球冲量为
I = mΓv = 7.3(N·s)， 对球的作用力为（不计重力） F = I/t = 366.2(N)．
vy
3．4 如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动
C B 后，经多长时间C也开始
运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s-2）
图3.4 其方向与电子方向的夹角为
θ = arctan(p2/p1) = 30°． 根据动量守恒定律，三个粒子总动量为零，
???p`?p1?p2?0，
p2 p θ p1 所以原子核的反冲动量为
A ????p`??(p1?p2)??p，
其大小与电子和中微子的合动量的大小相等，方向相反，与电子速度的夹角为
180 - θ = 150°．
3．6 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？
[解答] 炮弹在最高点的速度大小为
v = v0cosθ， 方向沿水平方向．
根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总
v0 θ [解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
Mg – T = Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程
T = Ma， 联立方程可得
a = g/2 = 5(m·s)．
根据运动学公式 s = v0t + at/2，
可得B拉C之前的运动时间
t?2s/a= 0.4(s)．
2
-2
v` 45° v v` 此时B的速度大小为
15
