第8章 新型数字带通调制技术
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8.2.1 正交2FSK信号的最小频率间隔
假设2FSK信号码元的表示式为 当发送“1”时?Acos(?1t??1) s(t)??当发送“0”时?Acos(?0t??0)
现在，为了满足正交条件，要求
0[cos(?1t??1)?cos(?0t??0)]dt?0即要求
T 1s{cos[(?1??0)t??1??0]?cos[(?1??0)t??1??0]}dt?0?Ts2?0上式积分结果为
sin[(?1??0)Ts??1??0]sin[(?1??0)Ts??1??0]???1??0?1??0sin(?1??0)sin(?1??0)??0?1??0?1??0第8章 新型数字带通调制技术
sin[( ?1??0)Ts??1??0]?sin[(?1??0)Ts??1??0]? ?1??0?1??0
sin(?1? >> 1?0)，上式左端第sin(?1??0)1和3项近似等于零，则它可以化简为 假设?1+?0??0?1??0?1??0
cos(?1??0)sin(?1??0)Ts?sin(?1??0)[cos(?1??0)Ts?1]?0 由于?1和?0是任意常数，故必须同时有
sin(?1??0)Ts?0cos(?1??0)Ts?1
上式才等于零。
为了同时满足这两个要求，应当令 (?1??0)Ts?2m? 即要求 f?f?m/T10s 所以，当取m = 1时是最小频率间隔。故最小频率间隔等于1 / Ts。
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上面讨论中，假设初始相位?1和?0是任意的，它在接收端无法预知，所以只能
采用非相干检波法接收。对于相干接收，则要求初始相位是确定的，在接收端是预知的，这时可以令?1 - ?0 = 0 。 于是，下式
cos(?1??0)sin(?1??0)Ts?sin(?1??0)[cos(?1??0)Ts?1]?0
可以化简为
sin(???)T?010s 因此，仅要求满足
f?f?n/2T10s
所以，对于相干接收，保证正交的2FSK信号的最小频率间隔等于1 / 2Ts。
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8.2.2 MSK信号的基本原理
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MSK信号的频率间隔
MSK信号的第k个码元可以表示为
ak?sk(t)?cos(?st?t??k)2Ts(k?1)Ts?t?kTs
式中，?s － 载波角载频； ak = ? 1 （当输入码元为“1” 时， ak = + 1 ； 当输入码元为“0” 时， ak = - 1 ）； Ts － 码元宽度； ?k － 第k 个码元的初始相位，它在一个码元宽度 中是不变的。
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ak?sk(t)?cos(?st?t??k)2Ts(k?1)Ts?t?kTs
由上式可以看出，当输入码元为“1”时， ak = +1 ，故码元频率f1等于fs + 1/(4Ts)；当输入码元为“0”时， ak = -1 ，故码元频率f0等于fs - 1/(4Ts)。所以， f1 和f0的差等于1 / (2Ts)。在8.2.1节已经证明，这是2FSK信号的最小频率间隔。
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MSK码元中波形的周期数
ak?sk(t)?cos(?st?t??k)2Ts
可以改写为
(k?1)Ts?t?kTs
?cos(2?f1t??k),sk(t)???cos(2?f0t??k), 式中
当ak??1当ak??1(k?1)Ts?t?kTs
f1?fs?1/(4Ts)f0?fs?1/(4Ts)由于MSK信号是一个正交2FSK信号，它应该满足正交条件，即
sin[(?1??0)Ts?2?k]sin[(?1??0)Ts??k]sin(2?k)sin(0)????0?1??0?1??0(?1??0)(?1??0)
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sin[(?1??0)Ts?2?k]sin[(?1??0)Ts??k]sin(2?k)sin(0)????0 ?1??0 ?1??0(?1??0)(?1??0)
上式左端4项应分别等于零，所以将第3项sin(2?k) = 0的条件代入第1项，得到要求
即要求 或
sin(2?sTs)?04?fsTs?n?,n?1,2,3,...n?1,2,3,...1Ts?n4fs
上式表示，MSK信号每个码元持续时间Ts内包含的波形周期数必须是1 / 4周期的整数倍，即上式可以改写为
式中，N ― 正整数；m = 0, 1, 2, 3
fs?nm1?(N?)4Ts4Ts第8章 新型数字带通调制技术
并有
m?1?1 f?f ?1??N???1s4?Ts
1?m?1?1 f0?fs???N??4T4 ??Tss?由上式可以得知：
m?1???4Ts
m?1?Ts??N??T1??N??T044????
式中，T1 = 1 / f1；T0 = 1 / f0
上式给出一个码元持续时间Ts内包含的正弦波周期数。由此式看出，无论两个信号频率f1和f0等于何值，这两种码元包含的正弦波数均相差1/2个周期。例如，当N =1，m = 3时，对于比特“1”和“0”，一个码元持续时间内分别有2个和1.5个正弦波周期。（见下图）
第8章 新型数字带通调制技术
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MSK信号的相位连续性
波形（相位）连续的一般条件是前一码元末尾的总相位等于后一码元开始时的总相位，即
k?1ssk ss 这就是要求
ak??kT???ak?1??kT??sk?1sk 2T2T 由上式可以容易地写出下列递归条件 ??,?kT????kT??k??k??k?1?(ak?1?ak)??k?12 ??k-1?k?,当ak?ak－1时当ak?ak－1时。 由上式可以看出，第k个码元的相位不仅和当前的输入有关，而且和前一码元
的相位有关。这就是说，要求MSK信号的前后码元之间存在相关性。
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在用相干法接收时，可以假设?k-1的初始参考值等于0。这时，由上式可知 ??0或?,(mod2?)k 下式
可以改写为
sk(t)?cos(?st?ak?t??k)2Tssk(t)?cos[?st??k(t)]
(k?1)Ts?t?kTs
式中 ak??(t)?t??k k
2Ts ?k(t)称作第k个码元的附加相位。
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?k(t)?ak?t??k 由上式可见，在此码元持续时间内它是t的直线方程。并且，在一个码元持续时间Ts内，它变化ak?/2，即变化??/2。按照相位连续性的要求，在第k-1个码元的末尾，即当t = (k-1)Ts时，其附加相位?k-1(kTs)就应该是第k个码元的初始附加相位?k(kTs) 。所以，每经过一个码元的持续时间，MSK码元的附加相位就改变??/2 ；若ak =+1，则第k个码元的附加相位增加?/2；若ak = -1 ，则第k个码元的附加相位减小?/2。按照这一规律，可以画出MSK信号附加相位?k(t)的轨迹图如下：
2Ts第8章 新型数字带通调制技术
图中给出的曲线所对应的输入数据序列是：ak =＋1,＋1,＋1,―1,―1,＋1,＋1,＋1,―1,―1,―1,―1,―1
