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联合公式(2-30)，可得到B2的形式：
B2(wt)??Bd?B1mcos(wt??1)?B2mcos(2wt??2)?B3mcos(3wt??3)?...... (2-32)
根据图2-6可以得出控制回路绕组的感应电势为：
ey?dB1dBdBdBNAy(1?2)?wAy1[4B2msin(2wt??2)?8B4msin(4wt??4)?......] (2-33) dtdtdt2dt从公式(2-33)可以看出，由于磁阀式可控电抗器的控制回路绕组是反串联的，所以奇次谐波可以相互抵消，只剩下偶次谐波分量，从而感应电势被削弱了。 从图2-6可知，并且主回路电阻忽略不计，可得到公式(2-29)的另外一种形式，即：
Emsinwt?dBdBNAy(1?2) (2-34) 2dtdt将(2-14)及(2-15)代入(2-17)里面可以得出：
NAyw[2B1msin(wt??1)?6B3msin(3wt??3)?...] (2-35) 2??wNAy[B1msin(wt??1)?3B3msin(3wt??3)?...]Emsinwt?依据谐波的平衡原理可知，公式(2-35)中3次以上奇次谐波为零，而且?1??。所以可得出，MCR的铁心磁感应强度将不会含有3次以上奇次谐波，并且偶次谐波分量也非常的小，因而下式成立：
?B1(wt)?Bd?B1mcoswt ?B(wt)??B?Bcoswtd1m?2 (2-36)
根据图2-1可以得出磁阀式可控电抗器的工作电流为：
i?F1?F2l?[f(B1)?f(B2)] (2-37) NN2?2由于磁阀式可控电抗器铁心的磁化曲线f(B)是奇函数，从公式(2-30)可知：
?f[B1(wt)]?f[?B2(wt??)]??f[B2(wt??)] ?f[B(wt)]?f[?B(wt??)]??f[B(wt??)]?211 (2-38)
同样，可以假定f(B1)为下面这种形式：
f(B1)?H0?H1mcos(wt??1)?H2mcos(2wt??2)?H3mcos(3wt??3)?... (2-39)
对应地，
f(B2)??H0?H1mcos(wt??1)?H2mcos(2wt??2)?H3mcos(3wt??3)?... (2-40)
将(2-39)及(2-40)代入(2-37)可以看出，磁阀式可控电抗器工作电流i只含奇次
谐波分量，可用如下的公式来表示：
i??I(2n?1)mcos[(2n?1)wt??2n?1] (2-41)
n?0?公式(2-41)当中，各次谐波分量的幅值I(2n?1)m可以由下面的公式来确定：
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2 磁阀式可控电抗器工作原理及数学模型
I(2n?1）m?1[f(B1)?f(B2)]cos[(2n?1)wt]d(wt) (2-42) ?0?N(n?0,1,2,3,...)
?2从而磁阀式可控电抗器的基波及3、5、7次等谐波电流的标么值为：
I1m???1(??sin?) (2-43) 2?sinn?sin(n?1)?1[?]
2?(2n?1)n(n?1)I(2n?1)m? (2-44)
公式当中，即在一个工频周期之内铁心的饱和时间，?表示为铁心的饱和度，且??2arccos(1?BdBs)（其中Bs为铁心磁化曲线饱和值，Bd为直流偏磁）。
图2-7为由公式(2-44)计算而得到的基波及3、5、7次谐波电流标么值随着饱和度?变化的曲线。
图2-7谐波电流峰值与饱和度的关系曲线
Figure 2-7 Harmonic current peaks and saturation curve
从图2-7可以看出，电抗器电流的第n次谐波分量具有n个零值点和(n?1)个极值点。其中各极值点以???为中心呈对称分布，而且各次谐波的最大极值点均靠近???。在三相对称系统里，通过构成三角形接法，3次谐波不会流向电力系统，而且，如果采用多重化接法，THD可以有一定程度的降低;在合适的饱和度下，谐波电流的含量还会进一步降低。完全能够达到电网对动态无功补偿设备的要求。
2.4.3伏安特性
根据MCR的电磁方程可以计算出它的伏安特性曲线，如图2-8所示，其中横坐标为电流基波分量幅值标么值，基准量为额定电流幅值，纵坐标为电压幅值
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标么值，基准量为额定电压幅值。从图2-8当中可以清楚地看到MCR的伏安特性近似成线性关系，因此对消除其运行时所产生的工频参数谐振现象有显著的效果。
?1.0180014401080720360000.8?Em/标么值0.60.40.200.20.4?Im/标么值0.60.81.0
图2-8 MCR的伏安特性
Figure 2-8 Voltage characteristic of MCR
2.4.4控制特性
在额定正弦电压情况下，磁阀式可控电抗器电流幅值(基波)随触发控制角?变化的关系称为控制特性。
触发导通角?与饱和度?(??2arccosBS?Bd)BS之间的关系
根据磁阀式可控电抗器电磁方程可知：
K(t)2?Emsinwt??0?K(t)???1?dBdB2R(F1?F2)?NAb(1?2)2Ndtdt (2-45)
D导通式中
D截止 (2-46)
对公式(2-45)左右两边分别求半周期的平均值，得：
2?Em?(1?cos?)?RltBS???(sin?cos)?N?0222 (2.47)
令公式(2-47)当中??0，有??2?，所以：
4?Em?RltBSN?0 (2-48)
将公式(2-48)代入(2-47)当中可以得到：
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2 磁阀式可控电抗器工作原理及数学模型
?222 (2-49)
触发导通角?与电抗器电流i的关系
cos??2(sin???cos?)?1联合公式 (2-43)、(2-44)及(2-49)可以得到I1m与?之间的关系，如图2-9所示。从图中可以看出，随着控制角?的增大，电抗器电流减小，电抗器的电流值与控制角具有明显的非线性。由此可见，可控电抗器输出电流(容量)随控制角增加而减少。
?
图2-9 磁阀式可控电抗器的控制特性 Figure 2-9 Control Characteristics of MCR
2.4.5响应速度
磁阀式可控电抗器的响应时间由下面的公式来确定：
n?1?? (2-50) 2?n为MCR的容量从空载到额定值所需要的工频周期数，公式当中，由式(2-50)
可以看出，n与可控电抗器的抽头比?成反比关系。
2.4.6有功损耗
通过大量的理论计算和实测分析，磁阀式可控电抗器的有功损耗仅与其抽头比δ有关，并有如下关系:
P4??Q(1??)? (2-51)
从中可以看到，抽头比越小，电抗器的有功损耗也就越小。对于一台60Mvar/20kV的单相MCR，当??0.0013时，电抗器的有功损耗占无功容量的
0.17%。
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2.5本章小结(Summary)
本章主要介绍了磁阀式可控电抗器的主电路结构和工作原理，分析了电抗器各工作状态之间的转换条件及判断。针对磁阀式可控电抗器的5种工作状态，写出其相应的电磁方程；并分析了磁阀式可控电抗器的等效电路、谐波特性、伏安特性、控制特性、响应速度、有功损耗等工作特性，为后续的工作顺利开展创造了扎实的理论基础。
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