2 磁阀式可控电抗器工作原理及数学模型
2.3.2电抗器各工作状态之间的转换条件及判断
在计算的过程当中，需要判别出在每个工频周期之内各个元件的导通状况，而元件的工作状态则是由元件上控制信号的触发时刻、电压及电流来决定的[37]。所以，在进一步探讨MCR在各工作状态间相互转换的关系之前，要认真分析所承受的电压和流过的电流。 假定，在磁阀式可控电抗器工作绕组的两端加有正弦电压即：e?Emsinwt，且从每一电源半周开始到晶闸管（K1或K2）触发导通时的电角度为wt??，?即为触发角。
当磁阀式可控电抗器处于无直流激磁(???)的时候，即稳态空载运行的状态，根据图2-4可以知道e、f两点等电位，电抗器已处于工作状态3，即D导通、K1、K2截止的状态。此刻，晶闸管K1、K2两端的电压和D上的电流分别为：
??uab??Emsinwt? ?udc???Emsinwt (2-9)
?[f(B1t)?f(B2t)lt?id0?N?根据上式可以看出，晶闸管K1、K2上所承受的正向电压与电源电势成正比关系，比例系数为变比δ，而且当晶闸管K1承受正向电压的时候，晶闸管K2上则承受反向的电压，晶闸管K1、K2所承受的电压方向相反。所以，如果当电压处于正半周某一时刻wt??时，向晶闸管K1门极输入触发脉冲，其将会导通，而晶闸管K2维持截止的状态。(同理，当电压处于负半周的某一时刻时，晶闸管K2将会导通，而晶闸管K1维持截止的状态)。因此，可控电抗器进入工作状态2，即晶闸管K1导通，二极管D导通，K2截止。此时，流过K1和D的电流以及K2上所承受的电压为：
Emsinwt?i?K1?(1??)R??Esinwt[f(B1t)?f(B2t)]lt ?id0??m (2-10) ?RN?udc???Emsinwt???由于在这种状态下，铁心1处于助磁的状态，铁心2处于去磁的状态，因而下式成立：
f(B1t)?f(B2t)?0 (2-11)
因此，由(2-10)可以得出，晶闸管K1导通后，二极管D的截止时间是根据铁心直流励磁的大小来决定的[39]。二极管D可能随晶闸管K1的导通而立即关断，也可能延迟一段时间才关断。认为从K1导通时刻到D关断时刻的电角度之差为
?，??0。
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二极管D关断后，磁阀式可控电抗器进入晶闸管K1导通，二极管D截止，晶闸管K2截止的状态，即进入工作状态1。此刻，晶闸管K1流过的电流和二极管D、晶闸管K2上所承受的电压分别为：
[f(B1t)?f(B2t)]lt?i?K1?(1??)N??Esinwt[f(B1t)?f(B2t)]lt?R ?ucf? (2-12) [?m?(1??)NRN???R[f(B1t)?f(B2t)]lt?udc??2?Emsinwt?N?根据公式(2-12)可得知，在电源的正半周之内，磁阀式可控电抗器处于工作状态1的时候K1处于导通的状态，晶闸管K2承受反向的压降，不具备导通的条件，而D则会在接近半个周期末的某个时刻导通，二极管D导通的条件可由公式(2-12)得出：
[f(B1t)?f(B2t)]ltEmsinwt (2-13) ?NR在这里，设二极管D导通的电角度为?1。当二极管D导通后，电抗器又进入工作状态2，此时流过晶闸管K1、二极管D的电流，以及晶闸管K2上的电压见公式(2-10)。根据公式(2-10)可以得出，当Emsinwt?0时，即电源正半周结束的时候，流过K1的电流因过零而截止，电抗器进入工作状态3，即晶闸管K1截止、二极管
D导通、晶闸管K2截止。同理，在电源的负半周内，K2触发导通的过程与电源
正半周时K1触发导通过程完全一样。负半周K2导通时所承受的电压、流过的电流表达式如下：
K1截止，D导通，K2导通
Emsinwt[f(B1t)?f(B2t)]lt?i???doRN?Esinwt?iK2?m ? (2-14)
(1??)R??uab??Emsinwt??K1截止，D截止，K2导通
??R[f(B1t)?f(B2t)]lt?uab?2?Emsinwt?N??Esinwt[f(B1t)?f(B2t)]l?R? ?ucf? (2-15) [m?(1??)NRN??[f(B1t)?f(B2t)]lik2??(1??)N??经过上面的分析可以看出，MCR在正弦电压作用下，晶闸管K1、K2、二极管D轮流导通的情况如图2-5所示：
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e?Emsinwt???1?DO导通?D0K2导通K2导通?1D0K2导通wtDO导通DOK1导通K1导通DOK1导通
图2-5磁阀式可控电抗器的工作状态变化过程 Figure 2-5 working state change process of MCR
根据图2-5可以看出，在晶闸管K1导通后二极管D存在两次导通的时间区间：?和?1，第一次晶闸管K1和二极管D两者同时导通的时刻发生在晶闸管K1触发导通的瞬间，持续电角度是?，第二次晶闸管K1、二极管D两者同时导通的时刻发生在半周期末，持续电角度是?1。根据式(2-10)可以看出，二极管D两次导通的时刻由下面的公式来决定：
EmsinwtF1?F2 (2-16) ?RNF1?F2越大，晶闸管K1、二极管D同时导通的时间N从公式(2-16)可以看出，
就越长。当触发角??0o，即K1全导通时，??2?，这时候电抗器的容量为最大，
F1?F2中只含有直流分量，此时???1??max，且： N tg??4? ?(1??) (2-17)
2.4 MCR工作特性分析(Analysis of work)
2.4.1等效电路
为了分析与研究起来比较方便，需要将磁阀式可控电抗器的复杂电路等效为比较简单的电路，由MCR的电磁方程看出，其磁状态在电源电压的正、负半周是呈对称状态的。所以这时，可以只考虑电源电压正半周的情况，它相对应有3种工作状态：(1)二极管D导通，晶闸管K1、K2截止(2) 晶闸管K1、二极管D导通，晶闸管K2截止(3) 晶闸管K1导通，K2、二极管D截止, 根据磁阀式可控电抗器的数学模型推导过程可以得出[43]：
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dB1dB2R??2(F2?F1)dtdtNAy (2-18)
即：
dBdBRF1?F2N()?Ay(1?2)?02N2dtdt (2-19)
令：
iy?F1?F2N (2-20)
则公式(2-19)可以整理为：
dBdBRNiy?Ay(1?2)?022dtdt (2-21)
对应第二种工作状态(K1、D导通，K2截止) ，由磁阀式可控电抗器数学模型的推导过程可知：
dBdBRNiy?Ay(1?2)?022dtdt (2-22)
对应第三种工作状态(K1导通，K2、D截止) ，根据可控电抗器的数学模型推导过程得出：
?1??Emsinwt?(1?dBdB2?RN)iy?Ay(1?2)1??22dtdt (2-23)
由式(2-21)、(2-22)及(2-23)可以得到MCR直流控制回路的等效电路如图2-6
右半部所示，其中：
?1K(t)???0
K1导通 K1截止
Ey?K(t)因此，当K1单独导通的时候，由等效的直流电源
?Emsinwt1??，内阻为
2?R?1??2向控制回路提供控制电流。而在晶闸管K1关断的期间当中，由续流二极
管D维持。
下面进行主回路方程的推导过程：
对应第一种状态(K1截止、D导通、K2截止)，根据磁阀式可控电抗器的数学模型推导过程得出：
dB1dB22EmsinwtR???2(F1?F2)dtdtNAyNAy (2-24)
即：
Emsinwt?dBdBNRF?F2Ay(1?2)?(1)2dtdt2N (2-25)
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令：
iy?F1?F2N (2-26)
dBdBNRAy(1?2)?i2dtdt2 (2-27)
则式(2-25)可写成：
Emsinwt?在第二种状态下(K1导通、D导通、K2截止)，根据磁阀式可控电抗器的数学模型的推导过程得出：
Emsinwt?dBdBNRAy(1?2)?i2dtdt2 (2-28)
对应第三种状态(K1导通、D截止、K2截止)，根据磁阀式可控电抗器的数学模型的推导过程可知：
Emsinwt?dBdBNRAy(1?2)?i2dtdt2 (2-29)
根据公式(2-27)、(2-28)和(2-29)可以相应的得到MCR主回路的等效电路，如图2-6左半部所示。
R2B1??R22?R?1??2N2e?EmsinwtN2?D0N2?Ey?K(t)?N2?Emsinwt1??
B2
图2-6磁阀式可控电抗器的等效电路 Figure 2-6 Equivalent Circuit of MCR
从图中可以看出，MCR的等效电路相当于工作绕组顺串联，控制绕组反串联的饱和电抗器。
2.4.2谐波特性
由磁阀式可控电抗器铁心和工作绕组的对称性可知，相应的磁感应强度存在以下的关系：
?B1(wt)??B2(wt??) ?B(wt)??B(wt??)?21 (2-30)
在一般时候B1、B2为非正弦，因此假设B1有下面的形式：
B1(wt)?Bd?B1mcos(wt??1)?B2mcos(2wt??2)?B3mcos(3wt??3)?...... (2-31)
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