（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－
。
如下列命题：（1）若
，则
。（2）两个向量相等的充要条件是它，则
，则
是平行四边形。（4）若
。（6）若
，
们的起点相同，终点相同。（3）若
是平行四边形，则
则
。（5）若
。其中正确的是_______（答：（4）（5））
2．向量的表示方法：
（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如
在后；
，注意起点在前，终点
（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为称
为向量的坐标，＝
，
叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在
原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数
（1）若
，则
______（答：
）；
、
，使a=
e1＋e2。比如：
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.
B.
C.
D.
（3）已知
分别是
的边
上的中线,且
,则
（答：B）；
可用向量表示为_____（答：
）；
（4）已知
中，点在边上，且，
则的值是___（答：0）
，
4．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作和方向规定如下：<0时，
当>0时，
，它的长度
的方向与的方向相同，当
，注意：
≠0。
的方向与的方向相反，当＝0时，
5．平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，
反向，当＝时，，垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量＝
叫做与的数量积（或内积或点积），记作：
，即
。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，
不再是一个向量。比如：
①△ABC中，
，
，
－9）；
，则
_________（答：
②已知，与的夹角为
（答：1）；
③已知
，则
等于____（答：
，则等于____
）；
④已知是两个非零向量，且
）
，则的夹角为____（答：
（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。
如已知，，且，则向量在向量上的投影为______
（答：
（4）
的几何意义：数量积
）
等于的模
与在上的投影的积。
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①
②当，同向时，反向时，
＝－
＝
，特别地，
＞0，且＜0，且
不同向，不反向，
；当与
是
；
；当为锐角时，
为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，
是为钝角的必要非充分条件；
③非零向量，夹角的计算公式：；④。
如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取
值范围是______（答：或且）；（2）已知的面积为，
且，若，则夹角的取值范围是_________（答：
）；（3）已知
，①用表示
；②求
与之间有关系式的最小值，并求此时与
的夹角的大小（答：①；②最小值为，）
6．向量的运算：
（1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设
那么向量
叫做
与
的和，即
；
，
②向量的减法：用“三角形法则”：设
，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
如（1）化简：①
_____（答：①
的边长为1，若O是
，则
所在平面内一点，且满足
为
的边
___；②；②
____；③
；③）；（2）若正方形＝_____（答：
）；（3），则的中点，
的所
形状为____（答：直角三角形）；（4）若
在平面内有一点，满足2）；（5）若点
是
的外心，且
（答：
，设，则的值为___（答：，则
的内角为____
）；
（2）坐标运算：设
① 向量的加减法运算：
如（1）已知点
，
，若
，则：
，。
，则当＝____
时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；（2）已知
，，则 （答：或
）；（3）已知作用在点的三个力，则合力
的终点坐标是 （答：（9,1））
② 实数与向量的积：
③若
，则
，即一个向量的坐标等于表。
示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如设
，且
，
，则C、D的坐标分别是__________
（答：
）；
④平面向量数量积：。
