第八章 离散时间系统的变换域分析
§8-1 引 言
一、变换域分析的目的：
类似于连续时间系统的L.T.，离散时间系统通过Z变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题，其目的是通过变换域分析将原来的求解问题简化。
二、Z变换的发展史
十八世纪，英国数学家棣莫弗（De Moivre）提出生成函数，并应用于概率论。实质上，生成函数与Z变换的形式相同。从十九世纪拉普拉斯（P.S.Laplace）到二十世纪沙尔(H.L.Seal)等人都对其进行了进一步深入研究。
二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，其用途甚至超过了L.T.
1
三、离散时间系统的分析方法
1． 离散时间系统的Z域分析法，这在本课
程进行研究。
2． 离散时间系统的频域分析法，即利用离
散傅里叶变换（DFT）——在离散时间系统分析中同样占用很重要的地位，而DFT的快速算法——FFT——的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用。这在数字信号处理课程中进行。
3． 除了DFT以外，还有如沃尔什变换等分
析方法，在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。这在数字信号处理课程中进行。
§8-2 Z变换定义及其收敛区域
一、Z变换的定义
Z变换的定义可以从纯数学的角度进行，也可以通过信号分解的角度提出，后者更加容易理解。本课程中，通过连续时间系统的F.T.导出Z.T.。
离散时间信号f(k)可以看成是连续时间信号
2
通过抽样而得到的冲激序列：
f(k)——>f?(t)?k????f(t)?(t?kT)
??对其f?(t)进行F.T.：
F(j?)??f?(t)e?j?tdt????????????f(t)?(t?kT)?e?j?tdt???k??????????????f(kT)?(t?kT)?e?j?tdt???k??????????????f(k)?(t?kT)?e?j?tdt???k?????????k????????????????f(k)?(t?kT)e?j?tdt
k???f(k)??(t?kT)e?j?tdt???j?kT??????k????f(k)e?k????f(k)?e?j??kT根据Dirichlet条件，只有在信号满足绝对可积条件的情况下才成立，即满足绝对可和条件：
k????f(k)???时，FT才存在。如果不满足，可以
?rkT??利用LT中的方法，在信号上首先乘以一个衰减因子e，然后再求FT。这样一来上式就可以变成
为：
3
F(r?j?)??f?(t)e?rkTe?j?tdt?????k????f(k)?e???r?j??kT?????j??kT? ???f(k)?e???k????(r?j?)T(??j?)T??，代入上式，得： z?e?e令
F(z)?k??????f(k)z?k
上式称为序列f(k)的Z变换。F(z)被称为序列f(k)的生成函数。
? 上面的推导反映了抽样信号的FT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系，即：
F(j?)?F(z)z?e?r?j??T??e???j??T?
而抽样信号的LT与用其冲激序列的强度构成的信号序列的ZT之间的关系为：
F(s)?F(z)z?esT
? 在某些情况下，Z变换的求和限可以简化： 1、 如果f(k)是一个左边序列（其在k<0时才有非零值），则： F(z)?k?????1f(k)z?k
2、 如果f(k)是一个右边序列，则：
4
F(z)??k?0??f(k)z?k
3、 如果f(k)是一个有限长序列，则： F(z)?
二、单边Z变换与双边Z变换
双边Z变换与单边Z变换的区别从应用上考虑，从实际的因果系统和非因果系统上考虑。
本课程主要考虑单边Z变换：
F(z)?k?k1?k2f(k)z?k
?k?0??f(k)z?k
三、Z变换的收敛域
ZT是一个级数求和问题，ZT存在意味着级数收敛。Z变换的收敛域也就是使这个级数收敛的全部Z的集合，即对于任意序列f（k）的z变换F(z)，使F(z)存在且有限的z值的取值范围称为F(z)的收敛区。 1、 级数收敛的判别方法：
ak?1???1 1） 比值法：klim??ak
5
