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答案：
解 ⑴易得F1??1,0?，F2?1,0?，A2?0,?1?，设P?x1,y1?，
x12则PF2??x1?1??y1??x1?1??1?1??x1?2?，
222x1?2?x1?2， ????????????????????2 ∴PF2?2?2??2??????或?1,?2?， 又圆M的面积为，∴??x1?2?2，解得x1?1， ∴P?1,?2??2?888??????2?2?????x?1；??????????4 ∴PA所在的直线方程为y?1?x?1或y?1????2?2?????x?1y?⑵∵直线AF1的方程为x?y?1?0，且M?1,1?到直线AF1的距离为
?22?x1?1y1??12222??x1， 化简得y1??2x1?1，??????????6 24222222???y1??2x1?18?x?0联立方程组?x2，解得或． ??????????8 x??11219?y1?1?2?1?1?1???11?当x1?0时，可得M?,??， ∴ 圆M的方程为?x????y???；???9
2?2?2?22???1?7?1698?17???当x1??时，可得M?,?， ∴ 圆M的方程为?x????y???；?10
18?18?1629?1818???⑶圆M始终与以原点为圆心，半径r1?2（长半轴）的圆（记作圆O）相切．
2222?x?1?1x1y22证明：∵OM??1?1????x1， ?????14
444482422?x1，∴OM?r1?r2， 又圆M的半径r2?MF2?24∴圆M总与圆O内切． ????????????????16
19．（本小题满分16分）
222?x1?1?2在数列?an?中，a1?1,an?1?1?11,bn?，其中n?N?． 4an2an?1⑴求证：数列?bn?为等差数列；
⑵设cn?2bn，试问数列?cn?中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． ⑶已知当n?N?且n?6时，(1?mn1m)?()，其中m?1,2,?n，求满足等式n?323n?4n???(n?2)n?(bn?3)bn的所有n的值．
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答案：
⑴证明：bn?1?bn?12an?1?12an?1?1?∴数列?bn?为等差数列 ????????????????4
11??1 ????????2 12??12an?12an⑵解：假设数列?cn?中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第p,r,q(p?r?q)项， 由⑴得bn?n，∴cn?2n， ????????????????5 ∴2?2r?2p?2q， ∴2r?1?p?1?2q?p ????????????????7 又2r?1?p为偶数，1?2q?p为奇数． ????????????????9 故不存在这样的三项，满足条件． ????????????????10 ⑶由⑵得等式3n?4n???(n?2)n?(bn?3)bn 可化为3n?4n???(n?2)n?(n?3)n
3n4nn?2n)?()???()?1 n?3n?3n?3nnn?1n1n∴(1?)?(1?)???(1?)?1 ????????????????12
n?3n?3n?3mn1m∵当n?6时，(1?)?()，
n?321n12n1nn1n∴(1?)?, (1?)?()2, ? (1?)?(),
n?32n?32n?32nnn?1n1n11211∴(1?)?(1?)???(1?)??()??()n?1?()n?1
n?3n?3n?32222即(∴当n?6时，3n?4n???(n?2)n?(n?3)n ????????????????14 当n?1,2,3,4,5时，经验算n?2,3时等号成立
∴满足等式3n?4n???(n?2)n?(bn?3)bn的所有n?2,3 ???????????16
20．（本小题满分16分）
a，a为正常数． x?19⑴若f(x)?lnx??(x)，且a?，求函数f(x)的单调增区间；
2已知函数?(x)?⑵在⑴中当a?0时，函数y?f(x)的图象上任意不同的两点A?x1,y1?，B?x2,y2?，线段AB的中点为C(x0,y0)，记直线AB的斜率为k，试证明：k?f?(x0)．
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⑶若g(x)?lnx??(x)，且对任意的x1,x2??0,2?，x1?x2，都有a的取值范围．
答案：
g(x2)?g(x1)??1，求
x2?x11ax2?(2?a)x?1解：⑴f?(x)?? ?x(x?1)2x(x?1)291，令f?(x)?0得x?2或0?x?
221∴函数f(x)的单调增区间为(0,),(2,??) ???????????4
2⑵证明：当a?0时f(x)?lnx
∵a?∴f?(x)?121? ∴f?(x0)? x0x1?x2xlnx2f(x2)?f(x1)lnx2?lnx1x1??又k?
x2?x1x2?x1x2?x1不妨设x2?x1 ， 要比较k与f?(x0)的大小，
x2x12即比较与的大小，又∵x2?x1，
x2?x1x1?x2ln∴ 即比较lnx22(x2?x1)与?x1x1?x22(x2?1)x1的大小．
x2?1x1令h(x)?lnx?2(x?1)(x?1) ???????????????8
x?114(x?1)2则h?(x)????0
x(x?1)2x(x?1)2∴h(x)在?1,???上位增函数．
又
x2xx?1，∴h(2)?h(1)?0， ∴ln2?x1x1x12(x2?1)x1，
x2?1x1即k?f?(x0) ?????????????????10
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⑶∵
g(x2)?g(x1)g(x2)?x2??g(x1)?x1???1， ∴ ?0
x2?x1x2?x1由题意得F(x)?g(x)?x在区间?0,2?上是减函数．???????????????12
1? 当1?x?2,F(x)?lnx?1aa?1 ?x， ∴ F?(x)??2x(x?1)x?1(x?1)21?(x?1)2?x2?3x??3在x??1,2?恒成立． 由F?(x)?0?a?xx11设m(x)?x2?3x??3，x??1,2?，则m?(x)?2x?2?3?0
xx27∴m(x)在?1,2?上为增函数，∴a?m(2)? ???????????????14
22? 当0?x?1,F(x)??lnx?1aa?1 ?x，∴ F?(x)???x(x?1)2x?1(x?1)21?(x?1)2?x2?x??1在x?(0,1)恒成立 由F?(x)?0?a??xx1设t(x)?x2?x??1，x?(0,1)为增函数
x∴a?t(1)?0
综上：a的取值范围为a?27 ???????????????16 2
附加题
21．已知⊙O1与⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?,???4sin?． (1)写出⊙O1和⊙O2的圆心的极坐标；
(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的极坐标方程． 答案：
解：(1)⊙O1和⊙O2的圆心的极坐标分别为(2,0),(2,?) (2) 以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
在直角坐标系下⊙O1与⊙O2的方程分别为x2?y2?4x?0,x2?y2?4y?0 ?????6 则经过⊙O1和⊙O2交点的直线的方程为y??x
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其极坐标方程为???
?4（??R）． ???????????????10
22．若(1?2x)2011?a0?a1x?a2x2???a2011x2011（x?R），求答案：
a1a2a的值． ?2???20112011222r解：由题意得：ar?C2011(?2)r,r?1,2,?2011， ???????????????2
∴
a1a2a12320102011，??????????6 ?2???2011??C2011?C2011?C2011???C2011?C20112011222012320102011∵C2011?C2011?C2011?C2011???C2011?C2011?0 ??????????8
∴
a1a2a?2???2011??1 ????????????????10 2222011
23．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，?BAD?60?，M为PC上一点，且PA∥平面BDM． ⑴求证：M为PC中点；
⑵求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小．
P M
D
A B 第23题图
证明 ⑴连接AC与BD交于G，则平面PAC∩平面BDM=MG， 由PA∥平面BDM，可得PA∥MG， ∵底面ABCD是菱形，∴G为AC中点， ∴MG为△PAC中位线，
∴M为PC中点． ????????????????4
⑵取AD中点O，连接PO，BO， ∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD， ∴PO⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，?BAD?60?，△ABD是正三角形， ∴AD⊥OB，
∴OA，OP，OB两两垂直，以O为原点OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立
C
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