ua?l01?()2
c解得杆的运动速率至少为：u?c1?()
10-5．两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c（c表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇？ 解： O测得相遇时间为?t：?t?al02L020? v0.6cL01??2O? 测得的是固有时?t?：∴ ?t???8.89?10?8s， ??v?t
或者，O?测得长度收缩：L?L01???L01?0.6?0.8L0?t??22L v?t??
0.8L00.8?20??8.89?10?8s 80.6c0.6?3?1010-6．一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少？ 解： l??3?l0∴ v?1?1??2?5?1?23,?5?1?2
94c?c 255
10-7．从S系观察到有一粒子在t1?0时由x1?100m处以速度v?0.98c沿x方向运动，10s后到达x2?,x1?,t2?,x2?各点，如在S?系(相对S系以速度u?0.96c沿x方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标t1为多少？(t?t??0时，S?与S的原点重合)，并算出粒子相对S?系的速度。
ux2x?utc解：利用洛仑兹变换：t??，x??， 221?(u2)1?(u2)cct?考虑到1?(u2c2)?1?0.962?0.28，有：
u0.96cx0??100212cc??t1???1.147?10?6s； 21?(0.96c)21?(u2)cct1? 36
u0.96cx10??9.8c222cc??t2??2.11s； 221?(0.96c)1?(u2)ccx1?ut1100?0.96c?0??x1??357.14m；
221?(0.96c)1?(u2)ccx2?ut29.8c?0.96c?10??x2??2.14?108m；
21?(0.96c)21?(u2)ccv?u0.98c?0.96c'vx?x??1.014?108m/s 。
u0.96c1?2vx1?2?0.98ccct2?
10-8．1000m的高空大气层中产生了一个π介子，以速度v?0.8c飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命2.4×10s，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。 解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀： 有?t??6?t'u21?2c，∴?t?2.4?106(0.8c)21?c2?6?4?10?6sa
由l?v?t?0.8?3?10?4?108?960m?1000m，∴到达不了地球；
（2）?介子静止系中的观测者认为长度收缩：
(0.8c)2u2有l?l01?2，∴l?10001??600m 2cc而s?v?t?2.4?10?0.8?3?10?576m?600m，∴到达不了地球。
10-9．某人测得一静止棒长为l，质量为m，于是求得此棒线密度为??m/l。假定此棒以速度v在棒长方向上运动，此人再测棒的线密度为多少？若棒在垂直度方向上运动，它的线密度又为多少？ 解：棒以速度v运动时，质量变为 m1??68m1?vc22
v2在棒长方向上运动，长度缩短为 l1?l1?2，
cmm?则棒的线密度为 ?1?1? ?v2l1?v2?l??1?c2??1?c2??棒在垂直度方向上运动时，长度不变，因此它的线密度为
37
?2?m1?lml1?vc22??1?vc22
10-10．一个电子从静止开始加速到0.1c，需对它做多少功？，若速度从0.9c增加到0.99c又要做多少功？ 解：由相对论动能：Ek?mc2?m0c2： （1）Ek1?m0c(211?v11?v222?1)?0.51?106(c211?0.12?1)?2.57MeV；
（2）Ek2?m0c(2?c211?v21) c2?0.51?106(11?0.992?11?0.92)?2.44MeV 。
10-11．一静止电子(静止能量为0.51MeV)被1.3MeV的电势差加速，然后以恒定速度运动。求：（1）电子在达到最终速度后飞越8.4m的距离需要多少时间？（2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少？ 解：（1）∵m0c2?0.51MeV，Ek?1.3MeV ∴mc2?m0c2?Ek?1.81MeV，考虑到：m?m01?vc22，
v2m0c28?1得：1?2?，可求得： ， v?0.96c?2.88?10m?s2cmcl8.4?8?2.92?10s； 那么，t??8v2.88?10v2?（2）由l?l1?2，有l??8.4?1?0.962?2.37m。
c
?3110-12．一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为9.11?10kg. （1）问电子应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%？ （2）此时电子的速率是多少？
m?m0?0.004， m00.004m0c2222有：eU?mc?m0c?0.004m0c，∴U??2.05?103V；
ev2m07?1（2）∵m?1.004m0，∴1?2?，可求得：v?2.7?10m?s。
cm10-13．已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍，求：（1）粒子的速率，（2）粒子的动量。 解：（1）依题意知：Ek?nm0c2，又∵Ek?mc2?m0c2，
解：（1）由Ek?mc2?m0c2，且Ek?eU，
38
v21∴ ?m0c?nm0c，有：1?2?22c(n?1)v1?2ccn(n?2)整理得：v?；
n?122224（2）由E?Pc?m0c，而：E?(n?1)m0c2，
22m0c2得：P?m0cn(n?2) 。
2310-14．太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核(11H)和氘核(1H)聚变为氦核(2He)，同时放出?光子，反应方程为：
3H?21H?2He??
已知氢、氘和He的原子质量依次为1.007825u、2.014102u和3.016029u. 原子质量单位1u?1.66?10?27kg. 试估算?光子的能量。 解：?m?1.007825u?2.014102u?3.016029u
?0.005898u?0.979?10?29kg
0.979?10?29?(3?108)22根据质能方程：?E??mc??5.5MeV。
1.6?10?19113
思考题10
10-1．关于狭义相对论，下列几种说法中错误的是下列哪种表述：
（A）一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速；
（B）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同； （C）在真空中，光的速度与光源的运动状态无关； （D）在真空中，光的速度与光的频率有关。 答：（D）
10-2．下面两种论断是否正确？
（1）在某个惯性系中同时、同地发生的事件，在所有其他惯性系中也一定是同时、同地发生的。
（2）在某个惯性系中有两个事件，同时发生在不同地点、而在与该系有相对运动的其他惯性系中，这两个事件却一定不同时。 解：（1）正确； （2）正确。
10-3．在惯性系S和S?，分别观测同一个空间曲面。如果在S系观测该曲面是球面，在S?系观测必定是椭球面。反过来，如果在S?系观测是球面，则在S系观测定是椭球面，这一结论是否正确？ 答：根据运动的相对性这个结论是正确的。
10-4．一列以速度v行驶的火车，其中点C?与站台中点C对准时，从站台首尾两端同时发出闪光。从看来，这两次闪光是否同时？何处在先？ 答：根据?t???(?t?u?x)，由于?t?0，?x?0，所以?t??0，即对C?点的观测者来说两次闪光c2不同时发生，尾部在先。
10-5．一高速列车穿过一山底隧道，列车和隧道静止时有相同的长度l0，山顶上有人看到当列车完全进入
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隧道中时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现现象？这现象是如何发生的？
答：对于地面的观察者雷击是在不同地方同时发生的，但是对于列车上的旅客来说这两个事件不是同时发生的，他应该看到两次雷击现象。
10-6．在相对论中，对动量定义p?mv和公式F?dp/dt的理解，在与牛顿力学中的的有何不同？在相对论中，F?ma一般是否成立？为甚麽？
解：在相对论中，动量定义p?mv和公式F?dp/dt中的质量是与运动有关的，是随运动速度而变化的；而在与牛顿力学中认为质量是恒定不变的。因此在相对论中，F?ma是不成立。
10-7．相对论的能量与动量的关系式是什么？相对论的质量与能量的关系式是什么？
24解：相对论的能量与动量的关系式是 E2?p2c2?m0c
相对论的质量与能量的关系式是 E?mc
习题11
11-1．测量星体表面温度的方法之一是将其看作黑体，测量它的峰值波长?m，利用维恩定律便可求出T。已知太阳、北极星和天狼星的?m分别为0.50?10面温度。
解：由维恩定律：T?m?b，其中：b?2.898?10，那么：
?32?6m，0.43?10?6m和0.29?10?6m，试计算它们的表
2.898?10?3太阳：T???5796K； ?6?m0.5?10b2.898?10?3北极星：T???6740K； ?6?m0.43?10b2.898?10?3天狼星：T???9993K。 ?6?m0.29?10b
11-2．宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温度为3K的黑体辐射，试计算： （1）此辐射的单色辐出度的峰值波长； （2）地球表面接收到此辐射的功率。
b2.898?10?3?9.66?10?4m； 解：（1）由T?m?b，有?m??T32（2）由M??T4，有：P??T4?4?R地，那么：
P?4??(6370?103)2?5.67?10?8?34?2.34?109W。
11-3．在加热黑体过程中，其单色辐出度对应的峰值波长由0.69?m变化到0.50?m，求总辐出度改变为原来的多少倍？ 解：由
?mT?b 和 M??T4可得， MT?0.694?()4?(m0)4?()?3.63 M0T0?m0.5
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