U?UOb?2(R2?x0?x0)，那么， 2?0??UO?Ub?(R?b?R2?b2)，
2?01112q?2mv2?mv0?(?qUOb)?mv0?(R?b?R2?b2)， 2222?0由能量守恒定律，有：v?2v0?q?(R?b?R2?b2) m?0
6-14．一半径为0.10米的孤立导体球，已知其电势为100V(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。
解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：U?Q4??0R??R， ?08.85?10?12?100??8.85?10?9Cm2。 则：??R0.1?0U
6-15．半径R1?0.05m,，带电量q?3?10?8C的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径R2?0.07m，外半径R3?0.09m，带电量Q??2?10?8C。试求距球心r处的P点的场强与电势。（1）r?0.10m（2）
r?0.06m（3）r?0.03m。
解：由高斯定理，可求出场强分布：
?E1?0?q?E2?4??0r2????E3?0?Q?q?E4?4??0r2??r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3R2R1
QR1q?R2R3∴电势的分布为： 当r?R1时，U1??q4??0rdr??2qQ?qq11Q?q， dr?(?)?R34??r24??RR4??R001203?当R1?r?R2时，U2?当R2?r?R3时，U3?当r?R3时，U4???R2r?4??0rdr??2Q?qq11Q?q， dr?(?)?R34??r24??0rR24??0R30?Q?qQ?qdr， ??R34??0r24??0R3Q?qQ?qdr?， ?r4??0r24??0r∴（1）r?0.10m，适用于r?R3情况，有：
Q?qQ?q3?9?10NU??900V； ，44??0r24??0r（2）r?0.06m，适用于R1?r?R2情况，有： E4?E2?q4??0r2?7.5?104N，U2?Q?q11(?)??1.64?103V； 4??0rR24??0R36
q（3）r?0.03m，适用于r?R1情况，有：
E1?0，U1?q4??0(Q?q11?)??2.54?103V。 R1R24??0R3
26-16．两块带有异号电荷的金属板A和B，相距5.0mm，两板面积都是150cm，电量分别为
?2.66?10?8C，A板接地，略去边缘效应，求：（1）B板的电势；（2）AB间离A板1.0mm处的电势。
?qA解：（1）由E?有：E?， ?0?0S1mm?P5mmqd则：UAB?Ed?，而UA?0，
?0SB?8?32.66?10?5?10??1000V， ∴UB???12?28.85?10?1.5?1013离A板1.0mm处的电势：UP??(?10)??200V
5
6-17．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为R1，电势为V1，外圆筒的内半径为R2，电势为V2.求其离轴为r处(R1 ?R2R2R1?， 2??0rR??dr?ln2 2??0r2??0R1?R1R2(V?V)??12 2??0ln(R2R1)同理，r处的电势为：Ur?V2?∴Ur?V2??rR??dr?ln2（*） 2??0r2??0rRln(R2r)?ln2?(V1?V2)?V2。 ln(R2R1)2??0rV1V2【注：上式也可以变形为：Ur?V1?(V1?V2)ln(rR1)，与书后答案相同，或将（*）式用： ln(R2R1)V1?Ur??rR1??rdr?ln计算，结果如上】 2??0r2??0R1 6-18．半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：┄①，再由系统电荷为Q，有：qa?qb?Q┄② 4??0raqa?4??0rbqbQaQb，qb?； a?ba?bQQQQ??（2）根据电容的定义：C?（或C?），将（1）结论代入， UqaUqb4??0a4??0b有：C?4??0(a?b)。 两式联立得：qa? 7 12?E计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为R，带电量为Q。 2Qr?E?r?RR?14??R3?0?解：首先求出场强分布：E?? O?E?Qr?R22?4??r0??02?0R?0?QrQ22EdV?()4?rdr?()24?r2dr ∴W????32??2204??0R2R4??0r6-19. 利用电场能量密度?e?3Q2。 ?20??0R 6-20．球形电容器内外半径分别为R1和R2，充有电量Q。（1）求电容器内电场的总能量；（2）证明此结 1Q2果与按We?算得的电容器所储电能值相等。 2C解：（1）由高斯定理可知，球内空间的场强为：E?利用电场能量密度we?Q4??0r2，（R1?r?R2） 12?E，有电容器内电场的能量： 2?02?0R2Q2(R2?R1)QQ21122； W????EdV??()4?rdr?(?)?2R2214??0r8??0R1R28??0R1R2（2）由UR1R2??R2Q4??0rR1dr?2Q4??0(Q(R2?R1)11， ?)?R1R24??0R1R2则球形电容器的电容为：C?QUR1R2?4??0R1R2R2?R1， 1Q2Q2(R2?R1)那么，We?。（与前面结果一样） ?2C8??0R1R2 思考题6 6-1．两个点电荷分别带电q和2q，相距l，试问将第三个点电荷放在何力为零? 答：由 处它所受合距离为 qQ2qQ，解得：x?l(2?1)，即离点电荷q的?224??0x4??0(l?x)。 )1l(?2 6-2．下列几个说法中哪一个是正确的？ （A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； （B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同； （C）场强方向可由E?F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷所受的电场力； （D）以上说法都不正确。 8 答：（C） 6-3．真空中一半径为R的的均匀带电球面,总电量为q(q＜0)，今在球去非常小的一块面积?S(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，?S后球心处的电场强度大小和方向. 答：题意可知：??有：E?面面上挖则挖去 q4??0R2，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷， ??S，方向指向小面积元。 24??0R 6-4．三个点电荷q1、q2和?q3在一直线上，相距均为2R，以q1与q2的中心O作一半径为2R的球面， A为球面与直线的一个交点，如图。求： (1)通过该球面的电通量(2)A点的场强EA。 解：(1) 6-5．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处， 有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量 为多少？ 解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心， 通过此正方体闭合外表面的通量为：?闭合?q/?0，那么， 通过该平面的电场强度通量为：????E?dS； ??SE?dS?q1?q2?0；(2)EA?q3q1q2。 ??2224πε0(3R)4πε0R4πε0Rq。 6?06-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？ (A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A) 6-7．由真空中静电场的高斯定理 ?SE?dS?1?0?q可知下面哪个说法是正确的？ (A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零； (B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零； (C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零； (D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C) 9 6-8．如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为 ?11???? ?rR?qq?11?(C) (D)??? 4??0?r?R?4??0?Rr?(A) qq (B) 4??0r4??0答：(B) 6-9．设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的U0和b皆为常量)： 答：(C) 6-10．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有?q和?q的电两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电场线应如何分答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交， 两板的电场线接近板面时应该垂直板面。 6-11．在“无限大”均匀带电平面A附近放一与它平行，且有一定厚度的“无导体板B，如图所示．已知A上的电荷面密度为??，则在导体板B的两个表感生电荷面密度为多少？ 答：?1?? 荷，有人将布。 限大”平面面1和2上的 ?2，?2??2。 6-12．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放一 带有电荷为?Q的带电导体B，如图所示，则比较空腔导体A的 电势UA和导体B的电势UB时，可得什么结论？ 答：UA和UB都是等势体，UA?Q4??0R3； UB? Q4??0R3?Q?11????? 4??0?RR2??1习题7 7-1．如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B。 ?0I??0I?解：圆弧在O点的磁感应强度：B1?，方向：4?R6R直导线在O点的磁感应强度：B2?； ?0I4?Rcos600[sin60?sin(?60)]?003?0I2?R，方向：?； 10
