则矩形线圈内的磁通量为：???d?ad?0I?0Ild?a?0I0ld?a， ?ldr?ln?sin?tln2?r2?d2?dN?0I0ld?d?a∴???N。 ???cos?tlndt2?d
8-8．如图所示，半径为a的长直螺线管中，有
dB?0的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭合回路dtABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为2a，求：（1）AD段、BC段和闭合回路中的感应电动势；
（2）B、C两点间的电势差UB?UC。 解：（1）首先考虑?OAD，S?OAD?∴?感1??而?感1?∴?AD?1332a?a?a， 224d?dB32dB， ???S?OAD??a?dtdt4dtl涡?E?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??E涡?dl??DA
AOODADDA32dB； a?4dt1?2?dB?a，∴?感2??a2?， 236dt再考虑?OBC，有效面积为S扇OAD?同理可得：?BC??6a2?dB； dt32dB，逆时针方向。 )a?64dtR
（2）由图可知，AB?CD?a，所以，梯形各边每段a上有电阻r?，
5
??3a2dB回路中的电流：I??(?，逆时针方向； )?R64Rdt那么，梯形闭合回路的感应电动势为：???BC??AD?(??那么，UB?UC?I?2r??BC?I?2??32dBR??BC??()a?。 510dt
?38-9．在长为60cm、直径为5.0cm的空心纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为6.0?10H的线圈？ 解：设需绕N匝线圈，当通以电流I时，通过螺线管线圈的磁通量为
NN2?m?NBS?N?0IS??0IS
ll?mN2??0S 由自感的定义可得：L?Il?Ll1/2?6?10?3?0.6)??因此有： N?(?4??10?7???0.0252???0S??
1/2?1209匝
21
8-10．一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有N匝，求此螺绕环的自感。 解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度：
B??0NI2?rR2(R1?r?R2)则????B?dS，有：
S???R1?0NIhR2?0NI ?h?dr?ln2?r2?R1??0N2hR2ln利用自感定义式：L?，有：L?。
I2?R1
8-11．一圆形线圈A由50匝细导线绕成，其面积为4cm2，放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm的圆形线圈B的中心，两线圈同轴。设线圈B中的电流在线圈A所在处激发的磁场可看作匀强磁场。求： （1）两线圈的互感；
（2）当线圈B中的电流以50A/s的变化率减小时，线圈A中的感生电动势的大小。 解：设B中通有电流I，则在A处产生的磁感应强度为：
B??0NBI?0NBI?2?R? B24?RB2RBAB?（1）A中的磁通链为：?A?NABSA??0NANBI2RB?SA。则：M??AIB??0NANBSA2RB，
4??10?7?50?100?4?10?4?20??10?7?6.28?10?6H。 ∴M?2?0.2d?A?0NANBSAdI（2）∵???6.28?10?6?50?3.14?10?4V,∴?A?3.14?10?4V。
dt2RBdt
8-12．一矩形线圈长l=20cm，宽b=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放置在一根长直导线的旁边，并和直导线在同一平面内，该直导线是一个闭合回路的一部分，其余部分离线圈很远，其影响可略去不计，求图(a)(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感。 解：设直导线通以电流I1。
图(a)情况下，通过矩形线圈的磁通量为：?m2?由互感的定义，线圈与长直导线间的互感为：
?2bbN2?0I1?Illdx?N201ln2 2?x2??m2?0l4??10?7?0.2M??N2ln2?100?ln2?2.8?10?6H
I12?2?图(b)情况下，通过矩形线圈左右两半面积的磁通量相互抵消，总磁通量为0，因此线圈与长直导线间的互
感也为0。
22
8-13．一个螺线管的自感为10mH，通过线圈的电流为4A，求它所储存的磁能。 解：螺线管的磁能为
Wm?121LI??10?2?42?0.08J 22
6?48-14．假定从地面到海拔6?10m的范围内，地磁场为0.5?10T，试粗略计算在这区域内地磁场的总磁能。
B2解：磁场能量密度为 wm?
2?0此区域内地磁场的总磁能为
B24?0.52?10?833331818Wm?wmV?(Re?h)?Re?(6.4?6)?6.4?10?7?10J ?72?032?10?3????
?1258-15．在一对巨大的圆形极板（电容C?1.0?10F）上，加上频率为50Hz，峰值为1.74?10V的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。 解：交变电压 U?U0co?st
dqdU?C??CU0?sin?t dtdt其最大值为 Idmax?CU0??CU02???10?12?1.74?105?2??50?5.46?10?5A
极板间位移电流为 Id?
8-16．有一平板电容器，极板是半径为R的圆形板，现将两极板由中心处用长直引线接到一远处的交变电源上，使两极板上的电荷量按规律q?q0sin?t变化，略去极板边缘效应，试求两极板间的位移电流强度。 解：极板间的位移电流强度为 Id?dq?q0?cos?t dt
88-17．已知电磁波在空气中的波速为3.0?10m/s，试计算下列各种频率的电磁波在空气中的波长：（1）上海人民广播电台使用的一种频率??990kHz；（2）我国第一颗人造地球卫星播放东方红乐曲使用的无线电波的频率??20.009MHz；（3）上海电视台八频道使用的图像载波频率??184.25MHz.
3?108?303m； 解：由??有：（1）?1?3?990?103?1083?108?1.63m。 （2）?2?（3）?3??14.99m；
20.009?106184.25?106c
8-18．真空中沿x正方向传播的平面余弦波，其磁场分?，幅值为H0.在t?0时刻的波形如图所示，（1）写的波动表达式；（2）写出电场分量的波动表达式，并在t?0时刻的电场分量波形 解：（1）由图可知，H满足余弦波，设：
量的波长为
出磁场分量图中画出
H?H0cos(?t?
2??x??)
23
H012?，cos???????，
2322?根据波形曲线可以判断出：??，∴
32?2?2?2??Hz?H0cos(?t?x?)?H0cos?(ct?x)?；
???3?3??当t?0、x?0时，有：H??（2）由?E??H知：E??0H??0cH， ?0∴E??0cH0cos
2???2?。 (ct?x)???3???思考题8
8-1．图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积为A，匝数为N，
?电阻为R，其法向n与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为q，试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解：q?Idt?∴B??11d???NBA， ?dt?dt????RRdtRRRq。 NA
8-2．如图所示，圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化。 （a）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路abcd，以?ab表示在导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的感应电流，则
A．?ab?0I?0； B．?ab?0C．?ab?0I?0； D．?abI?0； ?0I?0。
（b）位于圆形区域直径上的导体棒ab通过导线 与阻值为R的电阻连接形成回路，以?ab表示在 导体ab段上产生的感生电动势，I表示回路中的 感应电流，则：
A．?ab?0I?0； B．?ab?0I?0； C．?ab?0I?0； D．?ab?0I?0。
答：（a）选C；（b）选D。
8-3．在磁感应强度为B的均匀磁场内，有一面积为S的矩形线框，线框回路的电阻为R（忽略自感），线框绕其对称轴以匀角速度?旋转（如图所示）。
（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？
（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？ 答：（1）由??BScos??BScos?t，
1BS?sin?t，
RR12∴pm?IS?BS?sin?t；
R而：I??? 24
（2）M?Bpmsin?t?∴W?Md??122BS?sin2?t， R??2?0122??B2S22BS?sin?d??。 RR
8-4．一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样? 答：（1）利用位移电流表达式：ID?拉开过程中不变化，有ID?0；
（2）有位移电流，电容器两端维持恒定电压，两极板间距增加时场强变小，q下降且引起?下降，使位移电流降低。位移电流的方向与场线方向相反。
8-5．图a为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场， 均匀分布在圆柱形区域内，试在图b中画出： （1）位移电流的大致分布和方向； （2）磁场的大致分布和方向。 答：（1）Id??0?R2dq，由于平板电容器充电以后断开的电源，所以q在电容器两极板dtdEdE，（，位移电流在圆柱形区域内 ?0）dtdt均匀分布，分布具有轴对称性；
（2）应用安培环路定理：
IdB?0Id?0?0dEr?R时，B内?r?r，B内与r成正比，
2?R22dr?0?0dEr?R时，B外?2drR，B外为定值不变。
8-6．空间有限的区域内存在随时间变化的磁场，所产生的感生电场场强为Ei，在不包含磁场的空间区域中分别取闭合曲面S，闭合曲线l，则：
??C．??A．
SS?E?dl?0； B．??E?dS?0，?E?dl?0； D．??Ei?dS?0，iliSEi?dS?0，liSEi?dS?0,?E?dl?0； ?E?dl?0。
lili答：选B。
8-7．试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式： （1）电力线起始于正电荷终止于负电荷；（2）磁力线无头无尾；（3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。 解：（1）
（4）
?SD?dS??qi；（2）?B?dS?0；（3）?H?dl??Ic??SS?D?dS S?t?SE?dl????B?dS S?t习题9
9-1．杨氏双缝的间距为0.2mm，距离屏幕为1m，求：（1）若第一级明纹距离为2.5mm，求入射光波长。
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