椭圆的标准方程为x2y24?2?1. ??5分 (Ⅱ)假设满足条件的直线l存在，由条件可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y?kx?2(k?0)；设M(x1,y1),N(x2,y2).
联立方程??x2?2y2?42，消去y并整理得(1?2k2)x2?8kx?4?0
?y?kx?有x?x8k12??1?2k2，x1x2?41?2k2 ??9分 若以弦MN为直径的圆恰好过原点，则ON?ON，所以x1x2?y1y2?0
即(1?k2)x4(1?k2)1x2?2k(x1?x2)?4?0，所以
1?2k2?16k21?2k2?4?0 即
8?4k21?2k2?0，解得k??2 ??12分 验知k值满足判别式??0
所以，直线l的方程为y?2x?2或y??2x?2. ??14分
20. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）f?(x)?3x2?2(a?b)x?ab，
由条件得??f(1)?0，即?1?(a?b)?ab??f?(1)??1?03?2(a?b)?ab??1，
?解得a?1,b?2或a?2,b?1，因为a?b，所以a?1,b?2. ??5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?x3?3x2?2x，f?(x)?3x2?6x?2，
令
f?(x)?3x2?6x?2?0，解得x31?1?3,x?1?323.
在区间[0,3]上，x，f?(x)，f(x)的变化情况如下：
x
0
(0,x1)
x1
(x1,x2) x2
(x2,3)
f?(x)
?
—
0
0
?
f(x)2323递增
?9递增
0
9递减
所以
f(x)23max?6；f(x)min??9. ??10分 （Ⅲ）证明：f?(x)?3x2?2(a?b)x?ab， 依据题意知s,t为二次方程f?(x)?0的两根.
?f?(0)?ab?0,f?(a)?a2?ab?a(a?b)?0,
f?(b)?b2?ab?b(b?a)?0,
?f?(x)?0在区间(0,a)与(a,b)内分别有一个根.
【寒假作业答案】- 21 -
3
6
?s?t,?0?s?a?t?b.
??14分
【寒假作业答案】- 22 -
【寒假作业15】+【寒假作业16】答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1 2 3 4 题号 B C D A 答案 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.
5 C 6 C 7 B 8 B {xx?0} 10.
24 11.
n?20
12.
3f/(0)＞f/(?1)＞f/(?) 13. 2 14. 3
2三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分12分）
????1?3----------------------------4分 f()?cos?cos(?)?33232?（Ⅱ） f(x)?cosx?cos(?x)?sinx?cosx
222?2(sinx?cosx)22???cosxsin) ?2(sinxcos44??2sin(x?)????????8分4??3??5??x??2k???x?2k??由2k??得2k??24244?5?,2k??]，(k?Z)-------12分 ∴ f(x)的递减区间为[2k??44解：（Ⅰ）
16．（本小题满分14分）
解（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，
∴MD//AP， 又MD平面ABC， ∴MD//平面APC。-----------------------7分
（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，
∴MD⊥PB。 又由（Ⅰ）知MD//AP， ∴AP⊥PB。 又已知AP⊥PC，PB∩PC=P ∴AP⊥平面PBC，而BC包含于平面PBC， ∴AP⊥BC， 又AC⊥BC，而AP∩AC=A， ∴BC⊥平面APC， 又BC包含于平面ABC ∴平面ABC⊥平面PAC。---------------14分
17．（本小题满分13分）
?
解：（Ⅰ）
f??x?=3x2＋2ax ，
1?=3＋２ａ＝－３, 依题意有: f??∴ａ＝－３.
又f（１）＝ａ＋ｂ＋１＝０ ． ∴ｂ＝２ .
综上：ａ＝－３，ｂ＝２ ---------------------------------6分
【寒假作业答案】- 23 -
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=令
f??x?=０得：ｘ＝０，ｘ＝２--------------------8分
当０≤ｘ≤4时，随ｘ的变化，f??x?、f（ｘ）的变化情况如下表 ：
ｘ ０ （０，２） － ２ 0 （２，4） ＋ 4 x3－３x2＋２；f??x?=3x2－６x ．
f??x? 极 f（ｘ） 减函数 小增函数 值 -------------11分 从上表可知 ： 当ｘ＝２时，f（ｘ）取最小值为f（２）＝－２；
当ｘ＝4时f（ｘ）取最大值是f（4）=18．-------13分
18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设90-140分之间的人数是，………2分
n 由130-140分数段的人数为2人，可知0.005×10×
（Ⅱ）依题意，第一组共有40×0.01×10=4人，记作
n=2，得n?40.………7分
A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2从第一组和第
五组中任意选出两人共有下列15种选法：
{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}； {A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B1}、{A4，B1}； {A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；
{B1，B2}；………………………………………………………………10分 设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”.若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，………12分
故P(A)?8………13分 1519．（本小题满分14分）
x2y2?2?1(a?b?0)………………1分 解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为2abc1由题意得:?,4a?8 a2?a?2,c?1,b2?a2?c2?3x2y2??1 ………………4分 ∴椭圆的标准方程为43 （Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，A，B分别为椭圆短轴的两端点，显然以A，B为直径的圆不过椭圆C的右顶点，故直线l与x
轴不垂直.………………5分 设直线l的方程为
y?kx?2
?x2y2?1?? 则由?4得(3?4k2)x2?16kx?4?0 ………………7分 3?y?kx?2?11或k?? ……………………………………8分 由??0得k?2216k4设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?,xx?123?4k23?4k2
12?12k22?y1y2?(kx1?2)(kx2?2)?kx1x2?2k(x1?x2)?4?3?4k2 因为以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D（2，0），
【寒假作业答案】- 24 -
?KADKBDy1y?2??1
x1?2x2?2?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0??1,即 12?12k2432k2????4?0,即k?8k?7?0,2223?4k3?4k3?4k 解得k1?1,k2?7 ……………………………… ………………12分
当k=1时，直线l过椭圆右顶点（2，0），不合题意， 所以k=7，故直线l的方程是20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
y?7x?2. ……………………14分
a1?a2?????an?1?an?n(2n?1),………………2分
a1?a2????an?1?(n?1)(2n?1)， 两式相减，得an?4n?1 (n?2).…………3分
11又，解得 a1?3?4?1?1 , ?a12?1?1∴
?. …………5分 an?4n?1 (n?N)an4n?13??2?（Ⅱ）∵cn?,………………6分
2n?12n?12n?1a3cn?1?n?1?2? ,
2n?32n?333?＞0， 即cn?1＞cn. …………9分 ∴cn?1?cn?2n?12n?3（Ⅲ）∵nb?tan?t4n?1(t＞0),
S?b1?b2?????bn?t3?t7?????t4n?1， …………11分
Sn?1n?1?t?1S?n当时,n ,; …………12分 Snn ∴n当
t＞0且t?1时,
t3(1?t4n)Sn?11?t?Sn?，
Sn1?t4n1?t44n?4. …………13分
综上得，
Sn?1Sn?n?1,t?1??n?? ………………………………14分
4n?41?t?,t?0,t?14n??1?t
【寒假作业答案】- 25 -
