【寒假作业01】+【寒假作业02】答案
一.选择题
题号 1 2 答案 A D 二.填空题（每小题5分，共30分） 9.243 C
4 D
5 D
6 A
7 B
8 C
3 ； 10.15 ； 11.5 ； 12.x?ey?0； 13.2 ； 14.(2,2).
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
15.（12分）解：（Ⅰ）∵函数f(x)=asinx+bcosx的图像经过点(?,0),(,1)
63??13a?b?0??22∴?，????????????????????4分 ?3a?1b?1??22解得：a=3,b=-1 ????????????????????5分
?（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=3sinx-cosx=2sin(x-)?????????8分 6???? ∵x?[0, ]，∴x-?[-,], ????????????? 9分
2663???∴当x-=,即x=时，f(x)取得最大值3.????????12分 632
16.（13分）证明（Ⅰ）：∵PA于点E，
?面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD,AC交
∴PA?BD,AC?BD, ∴BD?平面PAC, ∵FG?平面PAC,
∴BD?FG ????????????7分
解（Ⅱ）：当G为EC中点，即AG=
34AC时，
FG//平面PBD, ?????????????9分 理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE， 而FG?平面PBD, PE?平面PBD,
故FG//平面PBD.?????????????13分
17.（15分）
解：（Ⅰ）由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.008?10=0.08，全班人数为所以分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4；?????????5分 （Ⅱ）分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；
分数在[60，70）之间的总分为60?7+2+3+3+5+6+8+9=456；
分数在[70，80）之间的总分为70?10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747； 分数在[80，90）之间的总分约为85?4=340； 分数在[90，100]之间的总分为95+98=193； 所以，该班的平均分约为
2?25，??? 3分
0.08114?456?747?340?193?74.
25 ????????????????????8分 估计平均分时，以下解法也给分：
分数在[50，60）之间的频率为2/25=0.08； 分数在[60，70）之间的频率为7/25=0.28；
【寒假作业答案】- 1 -
分数在[70，80）之间的频率为10/25=0.40； 分数在[80，90）之间的频率为4/25=0.16； 分数在[90，100]之间的频率为2/25=0.08；
所以，该班的平均分约为55?0.08+65?0.28+75?0.40+85?0.16+95?0.08=73.8. 频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为
4?10?0.016.??10分 25（Ⅲ）将[80,90)之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90,100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6),
(5,6)共15个， ??????????????????12分 其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，????????14分 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是
9?0.6.?????????15分 1518.（13分）设
（Ⅰ）若函数f(x)在区间（1，4）内单调递减，求的取值范围；
（Ⅱ）若函数f(x)在x=处取得极小值是1，求的值，并说明在区间（1，4）内函数f(x)的单调性. 解:
aaaf?(x)?3x2?3(a?1)x?3a?3(x?1)(x?a) ??????????????2分
∴
3f(x)?x3?(a?1)x2?3ax?1.
2（1）∵函数f(x)在区间（1，4）内单调递减,
f?(4)?0,∴a?[4,??) ； ??????????????5分
（2）∵函数f(x)在x=a处有极值是1，
31332322a?1?1, ∴f(a)?1,即a?(a?1)a?3a?1??a?2222∴a(a?3)?0，所以a?0或3， ???????????????8分 当a=0时，f(x)在(??,0)上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（0）为极大值，这与函数f(x)在x=a处取得
极小值是1矛盾，所以a?0. ????????10分
当a=3时，f(x)在(1,3)上单调递减，在（3，+?）上单调递增，所以f(3)为极小值，所以a=3.此时，在区间（1，4）内函数f(x)的单调性是：f(x)在（1，3）内减，在[3,4)内增. ??????????????13分
19．（13分）在直角坐标系
xOy中，点M到点F1
(?3,0).F2(3,0)的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：
y?kx?2与轨迹C交于不同的两点P和Q． （Ⅰ）求轨迹C的方程；
????????（Ⅱ）是否存在常数k，使OP?OQ?0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点M到
(?3,0)，(3,0)的距离之和是4，∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为23的椭x2?y2?1． ????????4分 圆，其方程为 4（2）将y?kx?2，代入曲线C的方程，
整理得
(1?4k2)x2?82kx?4?0． ①
???????????????6分 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由方程①，得
x1?x2??82k1?4k2， x1x2?41?4k2． ② ????8分
【寒假作业答案】- 2 -
y1?y2?(kx1?2)(kx2?2)?k2x1x2?2k(x1?x2)?2． ③ ????????9分 ????????若OP?OQ?0，则x1x2?y1y2?0，????????????????10分
又
将②.③代入上式，解得k??62．????????????????12分
又因k的取值应满足??0，即 4k2?1?0（?）， 将k??62代入（
?）式知符合题意．??13分
20.（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列 ①
?an?构成：
an?an?2?an?1；②存在实数M，使an?M.（ n为正整数）
2(Ⅰ)在只有5项的有限数列?an?. ?bn?中，其中a1?1,a2?2,a3(Ⅱ)设
=3，
a4?4，
a5?5；
b1?1,b2?4,b3?5,b4?4,b5?1，试判断数列?an?.?bn?是否为集合W中的元素；
?cn?是等差数列，Sn是其前n项和，c3?4,S3?18，证明数列?Sn??W；并写出M的取值范围； (Ⅲ)设数列?dn??W，且对满足条件的常数M,存在正整数k，使dk?M.
求证：dk?1?dk?2?dk?3.
解：(Ⅰ)对于数列{n}，当n=1时，
aa1?a3?2=a2，显然不满足集合W的条件①，故?an?不是集合W中的元2b1?b3b?bb?b?3?b2，24?4?b3，35?3?b4，222素. ??????????????????2分
对于数列{n}，当n?{1,2,3,4,5}时，不仅有
b而且有n，显然满足集合W的条件①②，故n是集合W中的元素.
??????????????????4分
(Ⅱ)∵
b?5?b??cn?是等差数列，Sn是其前n项和，c3?4,S3?18，设其公差为d，
?2d?c3?d?c3?18，∴d=-2
∴c3 ∴cn?c3?(n?3)d??2n?10, Sn??n2?9n?????????7分 Sn?Sn?2S?Sn?2?Sn?1??1?0，∴n?Sn?1； ∵
229281∵Sn??(n?)?， ∴Sn的最大值是S4?S5?20,即Sn?S4?20.
24 ∴?Sn??W，且M的取值范围是[20,+∞)???????????9分
dk?dk?2?dk?1， (Ⅲ)证明：∵?dn??W，∴整理dk?2?dk?1?(dk?1?dk)?dk?1?(dk?1?M)，
2∵dk?M，∴dk?1?M，∴dk?2?dk?1； dk?1?dk?3?dk?2，∴dk?3?dk?2?(dk?2?dk?1)?dk?2， 又∵
2∴dk?1?dk?2?dk?3.??????????????????14分
【寒假作业答案】- 3 -
【寒假作业03】+【寒假作业04】答案
一.选择题（每小题5分，共40分） 1 2 题号 C D 答案 二.填空题（每小题5分，共30分） 9.1 ； 10.1?3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D 334? ； 11.x-2y-2=0 ； 12.
34 ； 13.6 ； 14. [-2,0]. 5三.解答题（本大题共6小题，共80分） 15.（12分） 解：（Ⅰ）由图知A=2, ????????1分
T=2(
5???88)=?,∴?=2, ????????3分
∴f(x)=2sin(2x+?) 又∵
f()=2sin(
84??+?)=2, ∴sin(
?+?)=1, 4????2k?,?=+2k?,(k?Z) +?=244??∵0???,∴?= ????????6分
24???)=2sin(2?+)=2cos2?=4cos2?-2????9分 由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x+)，∴f(??842∴
∵tan?=2, ∴sin?=2cos?,
1?6)=? ????????12分 ,∴f(??58516.（13分）如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是菱形，SA?底面ABCD，M为SA的中点，N为CD的中点．
（Ⅰ）证明：平面SBD?平面SAC； （Ⅱ）证明：直线MN‖平面SBC．
又∵sin?+cos?=1, ∴cos?=
2
2
2
证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，
∴BD?AC， ????????????1分
∵SA?S底面ABCD，∴BD?SA， ?????2分
MEANBC∵SA与AC交于A,
∴BD?平面SAC, ?????????????4分 ∵BD?平面SBD
∴平面SBD?平面SAC ???????6分
（Ⅱ）取SB中点E，连接ME，CE，
1∵M为SA中点，∴ME?AB且ME=AB, ???8分
2又∵ABCD是菱形，N为CD的中点，
11∴CN?AB且CN=CD=AB, ???????10分
22∴CN∴MN
D?EM,且CN=EM，
∴四边形CNME是平行四边形，
?CE, ???????12分
又MN?平面SBC, CE?平面SBC, ∴直线MN‖平面SBC ???????13分
【寒假作业答案】- 4 -
17.（14分）解: （Ⅰ）所有基本事件如下:
(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4) ，共有15个.????????????4分
设事件“a?2，且b?3”为A,
则事件A包含的基本事件有8个, ????????????? 6分
8. ?????????????????8分 152（Ⅱ）设事件“f(x)?ax?4bx?1在区间[1,??)上为增函数”为B,
2b2, 且a>0， 因函数f(x)?ax?4bx?1的图象的对称轴为x?a2b?1,即2b?a.??????????10分 所以要使事件B发生，只需a所以P(A)=
由满足题意的数对有（1，-1）.（2，-1）.（2，1）.（3，-1）.（3，1），共5个， ??????????12分 所以，P(B)=
51? . ??????????14分 15318.（14分）解：（Ⅰ）∵a1∴
?1，an?1?2Sn?1(n?N?)，
an?2Sn?1?1(n?N?,n?1)， ∴an?1?an?2(Sn?Sn?1)，
∴an?1?an?2an，
∴
an?1?3an(n?N?,n?1) ??????????3分
而a2?2a1?1?3?3a1，∴an?1?3an(n?N?)
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴
an?3n?1(n?N?) ??????????5分 ∴a1?1,a2?3,a3?9， 在等差数列{bn}中，∵b1?b2?b3?15，∴b2?5. 又因a1?b1.a2?b2.a3?b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d， ∴（1?5?d）(9?5?d)?64 ????????????7分
解得d=-10,或d=2, ∵bn?0(n?N*)，∴舍去d=-10，取d=2， ∴b1=3,
∴bn=2n+1(n?N（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∴Tn?)， ????????????9分
?a1?b1?a2?b2???an?bn =(a1?a2???an)?(b1?b2???bn)
1?3nn(3?2n?1)3n1??n2?2n? ?????????14分 ==
1?3222219.（14分）解: （Ⅰ）f?(x)?x?2ax ????????????????1分
由题意知: f?(?2)?4?4a?0,得a=-1，?????????2分
2∴f?(x)?x?2x，
令f?(x)?0，得x<-2或x>0, ?????????4分
【寒假作业答案】- 5 -
