E ⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D∧E ⑷、⑸，充分条件推理的肯定前件式 ⑺ D ⑹，联言推理的分解式 ⑻ D∨E ⑺，析取附加式 2．①E→F∧﹁G，②F∨G→H，③E。所以，H。 证明：⑴ E→F∧﹁G 已知
⑵ F∨G→H 已知 ⑶ E 已知 ⑷ F∧﹁G ⑴、⑶，充分条件推理的肯定前件式 ⑸ F ⑷，联言推理的分解式 ⑹ F∨G ⑸，析取附加律 ⑺ H ⑵，⑹，充分条件推理的肯定前件式 3．①M→N，②N→O，③ (M→O)→(N→P)，④(M→P)→Q。所以，Q。 证明：⑴ M→N 已知
⑵ N→O 已知 ⑶ (M→O)→(N→P) 已知 ⑷ (M→P)→Q 已知 ⑸ M→O ⑴、⑵，条件三段论 ⑹ N→P ⑶、⑸，充分条件推理的肯定前件式 ⑺ M→P ⑴、⑹，条件三段论 ⑻ Q ⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式
4．①A→B，②B→C，③ C→D，④(A→D)→(B→A)，⑤﹁A。所以，﹁B。 证明：⑴ A→B 已知
⑵ B→C 已知 ⑶ C→D 已知 ⑷ (A→D)→(B→A) 已知 ⑸ ﹁A 已知 ⑹ A→C ⑴、⑵，条件三段论 ⑺ A→D ⑶、⑹，条件三段论 ⑻ B→A ⑷、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ ﹁B ⑸、⑻，充分条件推理的否定后件式
5．A∨B→(C∨D→E)。所以，A→(C∧D→E)。 证明：⑴ A∨B→(C∨D→E) 已知
⑵ A 假设 ⑶ C∧D 假设 ⑷ A∨B ⑵，析取附加律 ⑸ C∨D→E ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ C ⑶，联言推理的分解式 ⑺ C∨D ⑹，析取附加律 ⑻ E ⑸、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ C∧D→E ⑶、⑻，→引入 ⑽ A→(C∧D→E) ⑵、⑼，→引入 6．①A∨B→C∧D，②D∨E→F。所以，A→F。 证明：⑴ A∨B→C∧D 已知
⑵ D∨E→F 已知 ⑶ A 假设 ⑷ A∨B ⑶，析取附加律 ⑸ C∧D ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式 ⑹ D ⑶，联言推理的分解式 ⑺ D∨E ⑹，析取附加律 ⑻ F ⑵、⑺，充分条件推理的肯定前件式 ⑼ A→F ⑶、⑻，→引入
7．①A∧B→C，②(A→C)→D，③﹁B∨E。所以，B→D∧E 证明：⑴ A∧B→C 已知
⑵ (A→C)→D 已知 ⑶ ﹁B∨E 已知 ⑷ B 假设 ⑸ E ⑶、⑷，选言推理的否定肯定式 ⑹ ﹁(A∧B)∨C ⑴，等值命题 ⑺ ﹁A∨﹁B∨C ⑹，德摩根定律 ⑻ (﹁A∨C)→D ⑵，等值命题 ⑼ (﹁A∨﹁B∨C)→D ⑻，条件附加律 ⑽ D ⑺、⑼，充分条件推理的肯定前件式 ⑾ D∧E ⑸、⑽，联言推理的组合式 ⑿ B→D∧E ⑷、⑾，→引入 8．①A∨(B∧C)，②(A→D)∧(D→C)。所以，C。 证明：⑴ A∨(B∧C) 已知
⑵ (A→D)∧(D→C) 已知 ⑶ A→C ⑵，条件三段论 ⑷ A∨(B∧C)→C ⑶，条件附加律 ⑸ C ⑴、⑷，充分条件推理的肯定前件式
第七章 谓词逻辑初步
一、填空题
1．关系词项“包庇”在直接关系推理中表现为（非对称）性，在间接关系推理中表现为（非 43
传递）性。
2．如果关系R是反传递性的，则由aRb和bRc为前提，可推出（﹁(aRc)）。
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3．在概念外延间的全异、真包含、交叉关系中，属于传递性关系的是（真包含关系），属于反对称性关系的是（真包含关系）。
4．在概念外延间的全同、真包含于、交叉、矛盾关系中，属于反对称关系的是（真包含于关系），属于反传递关系的是（真包含于关系、矛盾关系）。 5．已知关系R是反对称的、传递的，由aRb真可得知（bRa假）；由aRb真且bRc真可得知（aRc真）。 二、单项选择题 1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．C 7．A
解析：由题意可知，甲+乙=丙+丁，甲+丁＞乙+丙，甲+丙＜乙。经过运算可得，丁＞ 乙＞甲＞丙。 8．C
三、双项选择题 1．“人事变动不等于政策变动，所以政策变动不等于人事变动。”该推理是（ BE ） A．有效的反对称性关系推理 B．有效的对称性关系推理 C．无效的反对称关系推理 D．无效的对称性关系推理 E．有效的纯关系推理 2．“甲了解乙，乙了解丙，所以甲了解丙。”这个推理是（ CE ）
A．有效的传统关系推理 B．有效的反传统关系推理 C．误把非传统关系当作传递关系 D．无效的反传统关系推理 E．无效的纯关系推理 3．下列既是反对称性又是传递性的关系是（ CD ）
A．援助 B．矛盾 C．在??左边 D．真包含于 E．交叉 4．“柏拉图和亚里士多德是古希腊哲学家”这个命题是（ CE ）
A．关系命题 B．直言命题 C．复合命题 D．全称命题 E．联言命题
注意，直言命题通常被分析到词项，因此直言命题通常是指简单命题。 5．在概念外延间的关系中，不具有传递性的是（ CD ）
A．同一关系 B．真包含关系 C．交叉关系 D．全异关系 E．真包含于关系 44
四、应用分析题
（一）指出下列语词或语句中哪些是个体词、谓词、量词和命题？ 1．数8。 答：“8”是个体词，“数”是谓词。 2．x是深红色的。 答：x是个体词，“是深红色的”是谓词。 注意，（1）这里的x其实是个体变项。下同。 （2）命题都有真假，而“x是深红色的”没有真假，因为这里的x实际上是一个 空位，即该语句其实是“（ ）是深红色的”，它是一个开语句，不能表达通常所谓的命题。下同。 3．x+y=z
答：x、y和z是个体词，+和=是谓词。 4．所有的x。 答：“所有”是量词，x是个体词。 5．将要出任校长的人。 答：“将要出任校长的人”是谓词。因为通常说，例如，“张三是将要出任校长的人”。 6．小黄不爱小李，但也不讨厌小李。 答：“小黄”和“小李”为个体词，“爱”和“讨厌”是谓词，“小黄不爱小李”、“（小黄） 不讨厌小李”和“小黄不爱小李，但也不讨厌小李”都是命题。 7．至少有数x。 答：x是个体词，“至少有”是量词，“数”是谓词。 8．几乎所有的人。 答：“几乎所有”是量词，“人”是个体词。 （二）把下列命题表达为谓词公式 1．有的粉笔是红色的。（F：是粉笔；G：是红色的） 解：∧Gx)
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2．所有的学生都没有缺席。（F：是学生；G：缺席） 解：→﹁Gx)
3．有的学生既不是上海人也不是江西人。（F：是学生；G：是上海人；H：是江西人） 解：∧﹁Gx∧﹁Hx) 4．小陈不接受任何意见。（a：小陈；F：是意见；R(x, y)：x接受y） 解：→﹁R(a, x))
5．有的服务员认识每一位来自北京的客人。（F：是服务员；G：来自北京；H：是客人；R(x, y)：x认识y） 解：∧∧Hy)→R(x, y)) 6．并非所有的儿童都喜欢喝某种饮料。（F：是儿童；G：是饮料；R(x, y)：x喜欢y） 解：﹁→∧R(x, y))) 7．凡是小陈喜欢的书我都喜欢。（a：小陈；b：我；F：是书；R(x, y)：x喜欢y） 解：∧R(a, x))→R(b, x))
（三）指出下列公式中哪些是约束变项，哪些是自由变项，并指出量词的辖域。 1．∧Qx)→∧Qx
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧Qx)。第二个x也是约束变项，辖域为Px。第 三个x是自由变项。 2．∧∨→Qx) 45
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧。第二个x也是约束变项，辖域为Qx。 第三个x也是约束的，辖域为(Rx→Qx)。 3．∧∧∧Sx
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px?Qx∧。第二个x是约束变项，辖域为Rx。 第三个x为自由变项。 4．→ y))
解：x为约束变项，辖域为(Px→ y))。y为约束变项，辖域为R(x, y)。 5． y)→﹁Gx)∧ z)
解：x为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。y为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。z 为约束变项，辖域为R(x, z)。 6． y)∧Q(y, z))∧ y) 解：第一个x为约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y, z)。第一个y约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y, z)。第二个x为约束变项，辖域为P(x, y)。第二个y为自由变项。
（四）把下列推理形式表达为谓词逻辑的蕴涵式 1．有的S是P，所以有的P不是S。 解：∧Px)→∧﹁Sx)
2．所有M不是P，所有S是M，所以有的S不是P。 解：→﹁Px)∧→Mx))→∧﹁Px) 3．没有P是M，凡S是M，所以凡S不是P。 解：→﹁Mx)∧→Mx))→→﹁Px) 4．所有M是P，所有M是S，所以有S是P。 解：→Px)∧→Sx)→∧Px) （五）分析下列命题，指出哪些是直言命题，哪些是关系命题。 1．人民利益高于一切。 2．事实胜于雄辩。
3．普及工作和提高工作是紧密相连的。 4．普及工作和提高工作都是要进行的。 5．命题甲
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和命题乙是矛盾的。
6．命题甲和命题乙都是全称肯定命题。
答：第4和第6是直言命题，第1、2、3和第5是关系命题。 （六）下列各混合关系三段论的形式是否有效？为什么？
1．所有固体都能为有的液体溶解，有的金属是固体，所以有的金属能为有的液体溶解。 答：有效。
2．一切负数都不比一切正整数大，零不是负数，所以零不比一切正整数大。 答：无效。因为它的直言命题不是肯定命题。
3．每人都同意有些建议，有些建议是十分宝贵的，所以每人都同意有些十分宝贵的建议。 答：无效。因为它违反媒介向必须至少周延一次的规则。
4．有些甲班同学没有参加书法小组，小吴参加书法小组，所以小吴不是甲班同学。
答：无效。因为它违反前提中不周延的项在结论中也不得周延的规则。 （七）把下列关系命题表达为谓词公式 1．珠穆朗玛峰比所有山都高。
解：设M表示山，a表示珠穆朗玛峰，H(x, y)表示x比y高，则 →H(a, x)) 2．有些甲班同学的外语成绩比所有乙班同学的外语成绩差。 46
解：令J表示甲班同学，Y表示乙班同学，L(x, y)表示x的外语成绩比y的差，则
∧→L(x, y)) 第八章 模态逻辑及其推理
一、单项选择题
1．与“这次试验必然不能成功”为矛盾关系的命题是（ C ）
A．这次实验必然能成功。 B．这次实验不必然能成功。 C．这次实验可能成功。 D．这次实验不能成功有可能。 2．在下列各组命题中，具有差等关系的是（ A ） A．“必然p”与“可能p” B．“必然非p”与“可能p” C．“可能p”与“可能非p” D．“可能非p”与“必然p” 3．□p与◇之间为（ A ）
A．矛盾关系 B．反对关系 C．差等关系 D．下反对关系 4．以□SEP为前提进行对当关系模态推理，其结论是（ C ）
A．□SAP B．□SEP C．◇SIP D．□ 解析：这里需要经过两步推理，即□SEP├ ◇├ ◇SIP。这两步推理分别用到 如图两种不同类型的对当方阵。
5．以“有些昆虫可能是害虫”为前提进行对当关系推理，其结论用符号表示只能是（ A ）
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A．□SEP B．□SAP C．◇SOP D．◇SIP 解析：这里需要经过两步推理，即◇SIP├ ◇├ □SEP。这两步推理分别用到 如图两种不同类型的对当方阵。
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6．前提含有模态词“可能”的模态三段论，无论另一前提是哪种模态词，其结论的模态词应是（ C ） A．必然 B．实然 C．可能 D．以上三种都可以 7．“并非可能p”与“并非可能非p”之间为（ A ）
A．反对关系 B．矛盾关系 C．差等关系 D．下反对关系 解析：“并非可能p”等值于“必然不p”，“并非可能非p”等值于“必然p”，所以“并非可能p”与“并非可能非p”是反对关系。 8．与“必然有S是P”的负命题相等值的命题是（ B ） A．可能有S是P B．可能凡S不是P C．可能有S不是P D．不可能有S是P 9．以“不可能（p并且q）”为前提进行等值推理，其结论为（ C ）
A．可能（非p或非q） B．必然（p且非q） C．必然（非p或非q） D．必然（如果p则q） 10．以“不必然（非p或q）”为前提进行等值推理，其结论为（ A ）
A．可能（p且非q） B．可能（非p且q） C．可能（非p或q） D．必然（p且非q） 二、指出下列各模态命题的种类 1．这场斗争是必然要来的。
答：主观模态命题，但也可以说是客观模态命题。从物模态命题，狭义模态命题，非逻 辑模态命题。
2．共产主义运动不可能是一帆风顺的。
答：从物模态命题，狭义模态命题，非逻辑模态命题。主观模态命题，但也可以说是客 观模态命题。
3．火星上可能不会有生命存在。
答：客观模态命题，但也可以说是主观模态命题。狭义模态命题，非逻辑模态命题，从 物模态命题。
4．攀登科技高峰可能要付出一个人的毕生精力。
答：主观模态命题，但也可以说是客观模态命题。狭义模态命题，非逻辑模态命题，从 物模态命题。
5．社会发展规律不以人的意志为转移是必然的。
答：从言模态命题，狭义模态命题，非逻辑模态命题，（这里主要是指）主观模态命题。 三、根据模态命题间的对当关系，指出与下列命题同素材的其他三个模态命题的真假。 1．第一次登台表演可能是紧张的。（真）
答：由“第一次登台表演可能是紧张的”为真，根据对当关系可知，“第一次登台表演
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