凹凸教育·九年级数学
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC。∴OB=AB=1。∴OA=，AC=2OA=2。
运动ts后，AP=t，AO=t，∴。
又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.∴PQ∥BC. （2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=此时⊙P与边BC有一个公共点。 如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
。由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。 ∴当如图4，
时，⊙P与边BC有2个公共点。
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⊙P过点C，此时PC=PQ，即∴当1≤t≤
=t ∴t=
。
时，⊙P与边BC有一个公共点。
当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点。 综上所述，当t=
或1≤t≤
或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当
时，⊙
P与边BC有2个公共点。
【解析】直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。
（2）分⊙P与BC切于点M，⊙P过点B，⊙P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。
22. 思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案；
探究一：根据由MN=8，MO=4，OY=4，得出UO=2，即可得出得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2； 探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6-4=2，即可得出∠BMO的最大值；
（2）分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围． 【解析】
思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小， ∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6-4=2．故答案为：90，2；
探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2 ∵MN=8，MO=4，OY=4，∴UO=2，
∴得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2； 探究二
（1）∵α=60°，∴△MOP是等边三角形，∴MO=MP=4，
∴PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是4，由已知得出M与P的距离为4，从而点P到CD的最小距离为6-4=2， 当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切， 此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°；
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（2）如图3，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切点时，α最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如图4，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，
连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3，在Rt△MOH中，MO=4
∴sin∠MOH=
=，∴∠MOH=49°，∵α=2∠MOH，∴α最小为98°，∴α的取值范围为：98°≤α≤120°．
23. （1）随着半圆的运动分四种情况：①当点E与点C重合时，AC与半圆相切，②当点O运动到点C时，AB与半圆相切，③当点O运动到BC的中点时，AC再次与半圆相切，④当点O运动到B点的右侧时，AB的延长线与半圆所在的圆相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间．
（2）在1中的②，③中半圆与三角形有重合部分．在②图中重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，故可根据扇形的面积公式求解．在③图中，所求重叠部分面积为=S△POB+S扇形DOP． 【解析】
（1）①如图，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了2cm，所
求运动时间为：t==1（s）
②如图，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．
在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12cm，则OF=6cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切．此时
点O运动了8cm，所求运动时间为：t==4（s）
③如图，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了14cm，
所求运动时间为：t==7（s）．
④如图，当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=6cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，
所以直线AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm，所求运动时间为：t=
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图②与③所示的两种情形．
①如图②，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：S扇形EOM=π×6=9π（cm）
②如图③，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H． 则PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6cm
cm，S△POB=×6
×3=9
（cm）
2
2
2
=16（s）．
则OH=3cm，BH=3cm，BP=6
又因为∠DOP=2∠DBP=60°
所以S扇形DOP==6π（cm）所求重叠部分面积为：S△POB+S扇形DOP=9
2
+6π（cm）
2
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24. （1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；
（2）当MN和⊙O第一次相切时，设MN交AD于P，交BC于Q，连接OP，OE，过D作DG⊥MN于G．先解直角△OEP，求出EP=1，OP=2，得出DP=4，再解直角△DPG，即可求出DG的长度；
（3）根据（2），可知MN和⊙O第一次相切时d的值，再结合⊙O的半径即可得出d为4时⊙O和直线MN的位置关系．
【解析】
（1）连接OE、OF．
∵AD、AB与⊙O相切于E、F，∴OE⊥AD，OF⊥AB∵矩形ABCD中，∠A=90°，∴四边形OEAF是矩形． ∵OE=OF，∴四边形OEAF是正方形，∴OE=OF=AE=
，∠O=90°，
∴弧EF的长为：
=；
（2）当MN和⊙O第一次相切时，设MN交AD于P，交BC于Q，连接OP，OE，过D作DG⊥MN于G． ∵MN∥PQ，∴∠DMN=∠DPQ=60°，∴∠APQ=120°．∵PA和PQ与⊙O相切，∴∠EPO=∠OPQ=60°． 在△OEP中，∠OEP=90°，∠EOP=30°，OE=∴DP=AD-AE-EP=
+5-，∴EP=1，OP=2，
，
-1=4．在△DPG中，∵∠DGP=90°，∠PDG=30°，∴DG=PD?cos30°=2
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∴点D到直线MN的距离d为2；
（3）设点D到直线MN的距离为d．由（2）知，当d=2时，直线MN与⊙O第一次相切，
∵⊙O的半径为
，∴当d=4
时，直线MN与⊙O第二次相切，又∵2
＜4＜4
，
∴当d=4时，MN直线与⊙O相交．
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