凹凸教育·九年级数学
设切点为C，连接OC，则圆的半径OC=1，OC⊥PC，∵∠AOB=45°，OA∥PC，∴∠OPC=45°， ∴PC=OC=1，∴OP=
，同理，原点左侧的距离也是
所以x的取值范围是0＜x≤
6. 解：以C为圆心，作半径为r的圆，则与Rt△ABC只有三个交点的半径r只有2个，一个是r=3，另一个是
r=2.4（此时圆与斜边AB相切），其余情况都不能满足与Rt△ABC只有三个交点，
所以以2.4和3为半径做圆，与Rt△ABC相交的点有6个，t分别为2.4，3，4.8，6.6，9，9.6． 故选B．
7. 此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
连接AQ，AP．根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；此时P点的坐标是（-3，0）． 8. 解：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，
设O1O2交圆O1于M，∴PM=8-3-1=4，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，∴根据图形得出有5次． 根据⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O1于M，求出PM=4，得出圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得到答案．
9. 根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标．
∵直线
与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），∴A点的坐标为：0=
），∴AB=2
x+
，
x=-3，A（-3，0），B点的坐标为：（0，
，将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1，
根据△AP1C1∽△ABO，∴
==
，∴AP1=2，
∴P1的坐标为：（-1，0），
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将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1，根据△AP2C2∽△ABO，∴∴AP2=2，P2的坐标为：（-5，0），
从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个．
==，
11. 首先由题意可知△ABC是直角三角形，再根据题意分析出符合条件的圆的直径的最小值即为该直角三角形的斜边上的高，即可求解．∵在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12，∴AB=AC+BC．∴∠ACB=90°，∴PQ一定是直径． 要使过点C且与边AB相切的动圆的直径最小，则PQ即为斜边上的高，则PQ=
=
．
2
2
2
12. 此题首先能够根据公共点的个数得到直线CD和圆的位置关系；再进一步计算出相切时，圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．
若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
根据题意，得圆必须和直线CD相交．设直线CD和圆相切于点E，连接OE，则OE⊥CD，则OE∥AD∥BC， 又OA=OB，则ED=EC．根据梯形的中位线定理，得OE=所以直线要和圆相交，则0＜M＜3． 13. 根据D点的坐标为（
，1），得出反比例函数y=
解析式，再根据A点坐标得出AO直线解析式，进而得出两图象的交
=M+2，则M+2=5，M=3，
点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案． ∵已知点A的坐标为（y=
，3），AB=3BD，∴AB=3，BD=1，∴D点的坐标为（
k，∴k=
，∴y=
x，
，1），∴反比例函数y=
解析式为：
，∴AO直线解析式为：y=kx，3=
∴直线y=x与反比例函数y=的交点坐标为：
，
x=±1，∴C点的横坐标为1，纵坐标为：
过C点做CE垂直于OB于点E，则CO=2，∴AC=2∵
-=
-2，∴CA的倍=，CE=，
-＞0，∴该圆与x轴的位置关系是相交．
为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切，即为当点O在AC上，且和BC边相切的情况．作
，利用解直角三角形的知识，进一步求得O′C=2，从而求得O′A的长，进一步求得运动时间．
14. 若以O为圆心、
O′D⊥BC于D，则O′D=
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根据题意，则作O′D⊥BC于D，则O′D=
．在Rt△O′CD中，∠C=60°，O′D=
，
∴O′C=2，∴O′A=6-2=4，∴以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．
15. 根据已知首先找出BP取最小值时QO⊥AC，进而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，进而求出PB的取值范围即可．
过BP中点O，以BP为直径作圆，连接QO，当QO⊥AC时，QO最短，即BP最短，∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△OQC，∴=，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∵BP=x，∴QO=x，CO=4-x，∴=，
解得：x=3，当P与C重合时，BP=4，∴BP=x的取值范围是：3≤x≤4，
16. 以D为圆心，AD的长为半径画圆，当圆与BC相切时，AD最小，与线段BC相交且交点为B或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．
以D为圆心，AD的长为半径画圆①如图1，当圆与BC相切时，DE⊥BC时，∵∠ABC=30°，∴DE=BD，∵AB=6，∴AD=2； ②如图2，当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD=AB=3， ∴AD的取值范围是2≤AD＜3．
17. 要判断直线CE与以点O为圆心，为半径的圆的位置关系，只需求得圆心到直线的距离，连接OD交CE于F，根据切线的性质，得到要求的距离即是OF，且发现四边形AEFD是矩形．再根据矩形的性质以及垂径定理和勾股定理，即可求解． 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
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连接OD交CE于F，则OD⊥AD．又BA⊥DA，∴OD∥AB．∵OB=OC，∴CF=EF，∴OD⊥CE， 则四边形AEFD是矩形，得EF=AD=4．连接OE． 在直角三角形OEF中，根据勾股定理得OF=
=3＞，即圆心O到CE的距离大于圆的半径，则直线和圆相离．
18. 若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）． 直线过点B．
当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得DOC=45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．
若直线L与半圆有交点，则直线从和半圆相切于点C开始到直线过点B结束（包括上述两种情况）．
若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）． 直线y=x+t与x轴所形成的锐角是45°．
当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD=45°． 又OC=1，则CD=OD=
，即点C（-，
）． ；
把点C的坐标代入直线解析式，得t=y-x=
当直线过点B时，把点A（-1，0）代入直线解析式，得t=y-x=1． 当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t=y-x=-1． 即t=
或-1≤t≤1时，直线和圆只有一个公共点；若直线和圆有公共点，则-1≤t≤
．
19. 求出圆与正方形的右边和左边相切时的半径，在这个范围内⊙B和正方形的边都有2个公共点；当圆的半径为点B到左边
顶点距离时，也有两个公共点．
圆与正方形的右边相切时，x=AB-5=2，与左边相切时，x=AB+5=12，∴2＜x＜12， 当公共点是右边顶点时，x=
=13，所以，x的取值范围是2＜x＜12或x=13．
20. 根据在△ABC内作一扇形，使扇形半径都在△ABC的边上，扇形的弧与△ABC的其他边相切应分三种情况： （1）以2个顶点A、B为圆心，做扇形，半径分别为AC和BC的长； （2）以顶点C为圆心，做扇形，半径为斜边上的高；
（3）分别以三个内角平分线与对边交点为圆心，做三个扇形，求其半径．
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∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，AB上的高为=．
（1）以A点为圆心，以4为半径作扇形，扇形与BC边相切，符合题意；
（2）以点B为圆心，以3为半径作扇形，扇形与AC边相切，符合题意；
（3）以点C为圆心，以斜边上的高
为半径作扇形，扇形与AB边相切，符合题意；
（4）过点A作∠A的平分线交BC于点E，以CE的长为半径作扇形，扇形与AC和AB边相切， ∵tan∠BCA=tan2∠CAE=，∴tan∠CAE=，
∴半径AE=tan∠CAE×AC=，故以半径作扇形，符合题意；
（5）过点C作∠C的平分线交AB于点F，以EF的长为半径作扇形，扇形与AC和BC边相切， ∵EF∥BC，∴△AEF∽△ACB．∴∴EF=
（6）过点B作∠B的平分线交AC于点O，以OC的长为半径作扇形，扇形与BC和AB边相切，
∵tan∠ABC=tan2∠OBC=，∴tan∠OBC=．半径OC=tan∠OBC×BC=，故以半径作扇形，符合题意； 则符合条件的扇形的半径为3，4，
，，
，．
．故以半径
=
即
=
．∵EF=EC，
作扇形，符合题意；
21.
（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB。
又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。 如图1，连接BD交AC于O。
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