∴甲班组平均每天掘进4.8米，乙班组平均每天掘进4.2米．
（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，则 a=÷（4.8+4.2）=190（天） b=÷（4.8+0.2+4.2+0.3）=180（天） ∴a﹣b=10（天） ∴少用10天完成任务．
24．已知：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，以直角边AB为直径作圆O交AD于C，取线段BD的中点E，连接CE交AB的延长线于P． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）点M是弧
的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN?MC的值．
【考点】切线的判定；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】（1）连接OC、BC，即可得∠ACB=∠BCD=90°，由E是BD中点知CE=BD=BE，即∠ECB=∠EBC，再根据∠OBC=∠OCB，可得∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠PCO=∠ABD=90°，从而得证；
（2）连接MA、MB，可得∠ACM=∠BCM=∠MAN，由∠AMC=∠AMN可判定△AMC∽△NMA，得出=
即AM2=MN?CM，再根据再等腰直角三角形ABM中AB=4可得AM的长，即可得答案．
【解答】解：（1）连接OC、BC，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BCD=90°， ∴△BCD是直角三角形， ∵E是BD中点， ∴CE=BD=BE， ∴∠ECB=∠EBC， 又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠PCO=∠ABD=90°， 又∵OC是⊙O的半径， ∴CP是⊙O的切线；
（2）连接MA、MB， ∵点C是弧AB的中点， ∴∠ACM=∠BCM， ∵∠MAN=∠BCM， ∴∠MAN=∠ACM， ∵∠AMC=∠AMN， ∴△AMC∽△NMA， ∴
=
，即AM2=MN?CM，
∵∠ACM=∠BCM， ∴AM=BM， ∵AB=4， ∴AM=2
，
）=8．
2
∴MN?MC=（2
25．已知关于x的二次函数y=x﹣2mx+m+m的图象与直线y=kx+1．
（1）若k=1，求证：无论m为何值，二次函数图象与直线总有两个不同交点．
（2）在（1）条件下，若两图象交于两点A、B，试证明AB的长为定值，并求出这个定值． （3）当m=0，设两图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），原点为O，无论k为何值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想． 【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）令k=1，联立y=x﹣2mx+m+m和y=x+1可得x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0，求出方程的根的判别式，进而结论可证明； （2）当k=1，m为任何值时，联立
，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，根
2
2
2
2
22
据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1，x1?x2=m+m﹣1，同（1）的方法，可求出AB=
；
，得A（﹣1，1），
2
（3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由B（1，1），显然△AOB为直角三角形； ②当k=1时，联立
，得x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，
，则AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出
x1?x2=﹣1，同（1）求出AB=
OA2+OB2=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形； ③当k为任意实数时，联立
，得x﹣kx﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系
2
4
2
2
2
2
得到x1+x2=k，x1?x2=﹣1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=k+5k+4，OA+OB═k+5k+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．
4
2
【解答】解：（1）∵关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与直线y=kx+1，其中k=1， ∴x﹣2mx+m+m=x+1，即x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0， ∴△=（2m+1）2﹣4（m2+m﹣1），即△=5＞0，
∴方程x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0，有两不相等的实数根， ∴无论m为何值，二次函数图象与直线总有两个不同的交点； （2）由
，得x﹣（2m+1）x+m+m﹣1=0，
2
2
2
2
2
2
2
2
∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m﹣1， ∴AB=
（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下： ①当k=0时，则函数的图象为直线y=1， 由
，得A（﹣1，1），B（1，1）， AC=
|x2﹣x1|=
=
；
显然△AOB为直角三角形；
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，
由，得x2﹣x﹣1=0，
∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1， ∴AB=
AC=
|x2﹣x1|=
=
；
∴AB2=10，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22 =x12+x22+y12+y22
=x1+x2+（x1+1）+（x2+1） =x1+x2+（x1+2x1+1）+（x2+2x2+1） =2（x1+x2）+2（x1+x2）+2 =2（1+2）+2×1+2 =10，
∴AB=OA+OB， ∴△AOB是直角三角形；
③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形． 由
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，
得x﹣kx﹣1=0， ∴x1+x2=k，x1?x2=﹣1， ∴AB=（x1﹣x2）+（y1﹣y2） =（x1﹣x2）+（kx1﹣kx2） =（1+k2）（x1﹣x2）2
=（1+k）[（x1+x2）﹣4x1?x2] =（1+k）（4+k） =k4+5k2+4，
∵OA+OB=x1+y1+x2+y2 =x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2
=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）
2
2
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2
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2
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2
2
=（1+k）（x1+x2）+2k（x1+x2）+2 =（1+k2）（k2+2）+2k?k+2 =k4+5k2+4， ∴AB=OA+OB， ∴△AOB为直角三角．
26．如图1，直线y=x﹣b与抛物线y=﹣x2交于A（﹣4，﹣4）和B两点，与y轴交于点C．
（1）求b的值及B点的坐标；
（2）若以AB为直径的圆与直线x=m有公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n的值，若不存在，请说明理由．
2
2
2
222
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先将点A坐标代入直线解析式中，求出b，然后联立直线和抛物线解析式即可求出点B坐标；
（2）由点A，B求得圆的圆心设为点O，由AB的长度求得圆半径而得到圆方程，代入x=m求判别式≥0即可．
