其中点A的坐标为 ，抛物线的顶点为P． 求b的值，并求出点P、B的坐标；
在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使 ≌ ？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．
【答案】解： 抛物线 经过 ，
，解得： ，
抛物线的表达式为 ．
，
点P的坐标为
令 得： ，解得 或 ，
的坐标为 ． 存在，点
如图：过点P作 轴，垂足为C，连接AP、BP，作 的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM．
， ， ，
， ， ， 是等边三角形，
， ．
， ， ．
在 和 中， ，
≌ ．
存在这样的点M，使得 ≌ ． ， ，点N是PB的中点，
设直线AM的解析式为 ，将点A和点N的坐标代入得： ，解得：
，
直线AM的解析式为
将
．
代入抛物线的解析式得：
，解得：
或 舍去 ， 当
时，
，
点M的坐标为
【解析】 将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，从而得到抛物线的解析式，然后利用配方法对抛物线的解析式进行变形可求得点P的坐标，接下来，令 得到关于x的方程可求得点B的横坐标；
过点P作 轴，垂足为C，连接AP、BP，作 的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM，求得AB、AP、BP的长，然后可证明 ，从而可求得点N的坐标，然后再求得AM的解析式，最后求得直线AM与抛物线的交点M的坐标即可 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，求得直线AM的解析式是
解题的关键．
25. 问题探究
请在图 的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使 最小；
如图 ，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点， ， ，点E为BC边的中点，请作一点P，使 最小，并求这个最小值； 问题解决
如图 ，李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD， 米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．
【答案】解： 如图 ，连接AC交BD于点P，则点P就是所要求作的点，
理由：在BD上任取一点异于点P的点Q，连接AQ，CQ， ； 如图 ，作点C关于BD的对称点，连接交BD于点P，连接， 点C与点
关于BD的对称点，
，
，
在BD上任取异于点P的，连接，，，
C {{\'}}E\'/>，
点P就是所要求作的点，的长度 的最小值， 四边形ABCD是矩形， ，
， ，
，
，
点C和点关于BD对称， 设交BD于G， 是的垂直平分线，连接
，
，
是等边三角形，
点E是BC的中点， ，
， ，
，
，
即： 的最小值为3；
存在，如图 ，连接AE交BD于P，点P就是所要求作的点，AE的长度就是休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短的值， 四边形ABCD是菱形，
点C关于BD的对称点为A，连接AE，交BD于P，点P就是所要求作的点，
米， 米， 于Q， 米， 米， 过点A作 于H， ，
米，
在 中，根据勾股定理得， 米， 米，
在 中， 米， 即：存在点P，且最短距离约为985米．
【解析】 利用两点之间线段最短，即可得出结论； 先确定出点P的位置，再求出 ，进而判断出
是等边三角形，即可得
出结论；
先确定出点P的位置，再求出OA，OB，进而利用面积求出AH，最后用勾股定理即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形，正方形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，等边三角形的判定和性质，找出点P的位置是解本题的关键．
，
，
即： 的最小值为3；
存在，如图 ，连接AE交BD于P，点P就是所要求作的点，AE的长度就是休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短的值， 四边形ABCD是菱形，
点C关于BD的对称点为A，连接AE，交BD于P，点P就是所要求作的点，
米， 米， 于Q， 米， 米， 过点A作 于H， ，
米，
在 中，根据勾股定理得， 米， 米，
在 中， 米， 即：存在点P，且最短距离约为985米．
【解析】 利用两点之间线段最短，即可得出结论； 先确定出点P的位置，再求出 ，进而判断出
是等边三角形，即可得
出结论；
先确定出点P的位置，再求出OA，OB，进而利用面积求出AH，最后用勾股定理即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，矩形，正方形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，等边三角形的判定和性质，找出点P的位置是解本题的关键．
