第十八讲 中考数学几何提升
专题提升(八) 以特殊三角形为背景的计算与证明
一、以等腰三角形为背景的计算与证明
1．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE，设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )
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A. y＝x2 B. y＝3x2 C. y＝23x2 D. y＝33x2
2
(第1题图) (第2题图)
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
3．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.
(第3题图)
4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°. (1)若AD＝2，求AB.
(2)若AB＋CD＝23＋2，求AB.
(第4题图)
二、以直角三角形为背景的计算与证明
5．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5. (1)求DB的长．
(2)在△ABC中，求BC边上高的长．
(第5题图)
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.求证：CD⊥AB.
(第6题图)
7．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E.若AB＝5，
1
求线段DE的长．
(第7题图)
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高． (1)求证：AE＝ED.
(2)若AC＝2，求△CDE的周长．
(第8题图)
9．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB. (1)求∠B的度数．
1
(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB.
2
(第9题图)
10．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60 km/h，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5 s，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200 m，此车超速了吗？请说明理由(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．
(第10题图)
11．如图所示，一根长2.5 m的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB的距离为0.7 m，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
(1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4 m，那么木棍的底端B向外移动多少距离？ (2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
(第11题图)
专题提升(九) 以特殊四边形为背景的计算与证明
一、以平行四边形为背景的计算与证明
1．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE. 求证：四边形ABCD为平行四边形．
(第1题图)
2．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA＝OC.求证：四边形ADCE是平行四边形．
2
(第2题图)
3．如图，已知点A(－4，2)，B(－1，－2)，?ABCD的对角线交于坐标原点O. (1)请直接写出点C，D的坐标．
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程． (3)直接写出平行四边形ABCD的面积．
(第3题图)
4．如图，在?ABCD中，若AB＝6，AD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．
(第4题图)
二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y1
＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积2是2.
求证：四边形ABCD是矩形．
(第5题图)
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连结CE.
求证：四边形BECD是矩形．
(第6题图)
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.
(1)求证：∠PNM＝2∠CBN. (2)求线段AP的长．
(第7题图)
3
8．如图，在矩形ABCD中，点F是CD的中点，连结AF并延长交BC延长线于点E，连结AC. (1)求证：△ADF≌△ECF.
(2)若AB＝1，BC＝2，求四边形ACED的面积．
(第8题图)
9．如图①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC分别交于点M，H.
(1)求证：CF＝CH.
(2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
(第9题图)
10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD. (1)求证：四边形OBEC是矩形．
1
(2)若菱形ABCD的周长是410，tan α＝，求四边形OBEC的面积．
2
(第10题图)
11．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连结CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连结AF.
(1)求证：△AED≌△CFD.
(2)求证：四边形AECF是菱形．
(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？
(第11题图)
12．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF＝BD，连结BF.
(1)求证：BD＝CD.
(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形(写出条件即可，不要求证明)?
(第12题图)
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延长线
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与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连结AF，CG. （1）求证：AF＝BF.
（2）如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．
(第13题图)
14．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F.
(1)证明：PC＝PE. (2)求∠CPE的度数．
(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连结CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
(第14题图)
15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．
