3  混沌时间序列分析

    B系统映射参数的选取按照如下方式。所构造映射中的参数分别按照M-G系统的τ=100（对应系统参数p=0.2、m=10、n=0.1）和τ=10（对应系统参数p=10、m=10、n=-2）时间延迟取相应M-G系统参数下其输出的混沌信号中的值来取，为了仿真方便，这里取相应时延内的输出某两个固定值，τ=100对应a=1.3，c=2，τ=10对应a=1.4，c=2，然后由嵌套变参映射输出混沌时间序列。以下图像加密所用的符号矩阵与灰度矩阵所需要的混沌信号，就由此参数下的嵌套变参映射输出信号构成。     混沌序列信号不满足绝对可和与能量可积的条件，但功率谱有限可积，因此可以通过功率谱来研究其频域特性。周期变量的功率谱呈现分离尖峰结构，尖峰对应的频率之间存在公倍数；拟周期变量对应的各尖峰间无公倍数现象；混沌和噪声的功率谱在宽的频率范围内都呈现出连续性，因此，若系统的功率谱是连续的时候，说明系统具有混沌特征的可能性。因为混沌吸引子内部存在很多不稳定周期轨道，因此如果若连续谱中除了显现噪声特性外，还具有宽峰谱特性时，那么就是混沌信号的谱。如图4所示。 (a)          (b)          (c) 图4 白噪声序列和嵌套映射序列X、Z的功率谱     通过计算，可以发现映射所输出序列的自相关和白噪声类似，随机性和互相关性在取不同参数的时候，也非常弱。参数分别选a=1.4和a=1.38，b、c参数不变化的时候序列的差值信号见图5（a），可见参数很小的变化输出序列差别极大，反映了参数敏感性，因此在图像与文件加密中有大量的加密数据和密钥可用，且无任何联系。图5（b）、（c）分别是白噪声和输出Z序列的自相关，可见非常尖锐，证明其类噪声性质。  (a)                            (b)                             (c) 图5  a=1.4和a=1.38，时差值序列及 白噪声序列和嵌套映射序列自相关

4  数字图像加密过程

    （1）利用小波包变换的技术对原始图像进行压缩，去除图像中大量的空间冗余信息，降低图像数据之间的相关性，可提高信息传输的有效性和抗破译性。图像矩阵设为I。     （2）利用嵌套变参混沌映射输出的实值混沌序列，并利用生成符号矩阵S和灰度矩阵W，如式（6）。分别代表符号矩阵和和灰度矩阵里面的元素，把这些元素构造成和图像矩阵相同维数矩阵即可。

，取整运算  （6）

    （3）灰度置乱矩阵B实现过程：设图像矩阵中的元素为I（i，j），灰度矩阵元素W（m，n），则灰度置乱矩阵B（p，q）生成如下，见式子（7）：        （7）     （4）加密过程：（B+W）.S，既灰度置乱矩阵与由混沌信号构造而成的灰度矩阵再相加，然后与符号矩阵相乘即可。    以上加密过程如图6（a）（b）（c）分别是原图像、压缩图像和加密后图像，6（d）是当生成符号和灰度矩阵的嵌套映射的参数a相差10^-3的时候恢复的图像，可见参数极微小的变化就不能正确恢复图像，原因就是由于在加密的过程中，不但把原图像的灰度矩阵用混沌信号生成的新矩阵置换了，而且还又和其做了相加运算，可以证明这时候其灰度矩阵元素序列就是混沌信号。经过大量图像加密验证，证明本加密方法不但实现简单而且还有很好的抗破译性。另外本加密方法可用的密钥可以是系统的参数a、b、c和确定系统参数M-G系统的参数p、m、n与其系统时延共同确定，只要其参数在能保证输出混沌特性的参数变化范围内都是可以的。 解密过程为以上加密的逆向运算。