嵌套混沌变参映射在数字图像加密中的应用(2)

    其中A、B系统中参数a、b、c以及变换时间间隔由M-G系统输出和其时延确定。          图1  Henon映射和M-G系统的信号波形与相空间图
    上面所构造映射有（A）（B）两个系统，经取参数研究发现，二者都在一定的参数变化范围之内是混沌系统，如按照a=1.4，b=0.3，c=2代入二系统，会输出性能要好于原二维映射的随机数据，这些数据类似于白噪声信号相关性和功率谱。通过系统的相空间图比较，可见（A）（B）不同。另外通过改变系统第三个方程，可得到另外不同的相空间图，而且可证明在一定参数变化范围时候的混沌性，以下的分析和应用皆针对B系统展开（见图2）。 图2  参数a=1.4，b=0.3，c=2时候， A系统（左图）与B系统（图右）的相空间     非线性映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效果可用Lyapunov指数λ定量刻画。它正值大小也反映了混沌信号的复杂度。一般一维映射Lyapunov指数计算见式（5）              （5）     可见一维映射只有一个λ值，而在n维相空间情况下一般有n个λ_i值，而且沿相空间的不同方向，其 λ_i值也是不同的。利用李雅普诺夫指数λ，相空间里初始时刻两点之间的距离将随时间（迭代次数）作指数分离，设为多维相空间的两点之间的距离，经n次迭代后两点之间的距离为，λ_i>0表示沿该方向扩展，反之，则是收缩。     因此Lyapunov指数给出混沌过程对初始条件的敏感依赖性的度量，同时正值的 描述了混沌系统相空间混沌吸引子内部各个轨线之间的不稳定性，研究也证实了在判别一个系统是否存在混沌运动的时候，只要判别其最大Lyapunov指数是否为正的即可。对于多维相空间情况下一般有多个正的 _i值，它的运动情况将会更复杂，因此就把那些Lyapunov指数正值比较大，包含正的Lyapunov指数有两个正的或者更多正的Lyapunov指数时的系统称为超混沌。M-G混沌系统就是一个超混沌系统，但它是一个时滞超混沌系统，而非时滞超混沌系统，它的正的Lyapunov指数不会超过系统的维数，如果要产生更复杂的混沌信号，那必然就要增加系统的结构从而增加维数来使系统具有更大的正的Lyapunov指数，但这种改造对于混沌系统应用于信息和保密通信系统往往是代价太大，不实用。而本文利用的超混沌系统M-G十分简单，系统正的Lyapunov指数不受限与系统维数，它可以产生很多正的Lyapunov指数，从而产生超混沌信号。     对本文中的B系统分析当参数变化的时候其混沌性。由系统方程可初步分析此系统至少有两个正的Lyapunov指数，因为它是一个三维系统，且是两个混沌系统嵌套而成的。固定参数b=0.3，利用“伯内廷”方法^[3]分析当a参数变化时候系统各变量的Lyapunov指数，可以得到随参数变化的指数谱。如图3所示。 图3  参数b=0.3，c=2时B系统各变量的Lyapunov 指数随参数a变化的曲线     由图3可以看出系统Z变量信号与X变量信号的Lyapunov指数变化趋势是大概一致的，这也可以从系统关于Z变量方程中得知，Z变量是X变量做了非线性运算得到的，故当X变量输出为混沌信号的时候，Z变量也输出混沌信号，同时从图3中的Lyapunov指数比较而得Z变量的混沌信号比X变量混沌信号的指数大，因此更加复杂，而且c参数的取值只要保证平衡性即可，无特殊要求范围，因此c的范围可以很大。另外当a取一定的参数时候，如1.35时候可以使Y变量也输出混沌信号，那么此时就是一个超混沌系统了，利用这时的系统进行通信系统信息传输，保密性将更强。