摘  要 利用Logistic映射、Henon映射与超混沌M-G系统构造了一类嵌套混沌变参映射，并通过Lyapunov指数证明所构造映射产生信号的混沌性，同时分析其相关性和功率谱特性，然后利用其输出的混沌信号构成图像加密所需要的符号矩阵和灰度矩阵，与经过小波压缩后的图像运算，从而完成图像数据加密。     关键词 混沌；变参映射；Lyapunov指数；相关性；图像加密

1  引言

    混沌是确定性非线性系统所产生的貌似无规则的、复杂的且无需外加任何因素就能表现出似随机过程的一种动力学行为，它初始条件和系统参数极端敏感，轻微的扰动即可产生完全不同的混沌信号，它具有宽频带特性，同时还有类噪声的性质，如尖锐自相关和极低的互相关性。正是因为混沌信号的上述特性，使它被广泛应用于信息与通信保密系统中，如混沌扩频通信^[5]，正是利用混沌信号的类噪声性质、宽带性以及参数和初始条件敏感性，从而产生理论上无穷尽的无周期扩频序列，另外还可以对图像加密、文件加密等，然后在有线通信网络中传输。     由于离散混沌映射便于采用数字电路实现，符合数字信息和通信保密发展需要，如使用DSP器件、单片机器件^[3][4]，只需要简单的程序改变即可实现不同的混沌信号。但是数字电路实现的精度有限而导致信号周期化的出现，从而降低混沌保密信息系统的抗破译性，同时由于目前出现并应用的混沌映射数量不多，且多是低维系统^[2]，复杂性不够，因此又增加了系统的可穷举破译性质。     本文分别利用了Logistic映射、Henon映射与超混沌M-G系统构造了一类嵌套混沌变参映射，其中嵌套混沌系统中参数是基于超混沌系统所产生的信号进行改变的，通过Lyapunov指数证明所构造的映射确实产生混沌信号，同时还分析了所产生信号的相关性和功率谱特性，然后利用这些信号构成图像加密所需要的符号矩阵和灰度矩阵，与经过小波压缩后的图像运算，从而完成图像数据加密。

2  嵌套变参映射构造及混沌性分析

    Logistic映射是一种单峰的混沌映射，见式（1）：                      （1）     其中１.401155<a 2的时候，Logistic映射产生混沌时间序列信号。     Henon映射一种二维混沌映射，见式（2）：                  （2）     其中当时，Henon映射可以产生混沌时间序列信号。     超混沌M-G系统是一种时滞超混沌系统，见式（3）：             （3）     为系统状态，p、m、n为系统参数，是时间延迟。该系统的结构虽然非常简单，但却有着复杂的动力学行为。例如，当取p=10，m=10，n=-2，时，系统将具有5个正的李雅普诺夫指数。该系统具有无穷维的相空间，通过改变 的值，可以获得任意多个正的李雅普诺夫指数。 对于M-G系统，取积分时间步长0.0001得到M-G系统时间序列信号波形与它的相空间图如图1（b），图1（a）是Henon映射的时间序列信号波形与相空间图，各混沌系统中参数的选取见图1标注。     本文利用Logistic映射、Henon映射和M-G系统构造一类嵌套映射。首先利用Logistic映射和Henon映射构造成三维离散混沌系统，利用超混沌M-G系统的输出的混沌信号来做为所构造映射的参数，利用M-G系统中时延控制参数变化的间隔，即取不同参数值的时间，所构造三维映射中的控制参数为a，b，c；为了仿真，这里对于M-G系统取两套参数，分别是 p=0.2、m=10、n=0.1、和p=10、m=10、n=-2、。过程见式（4）：              （4）