安徽理工大学硕士学位论文
确定可靠度的蒙特卡罗模拟确定计算可靠度公式??P(R?S) 求应力和强度：S,R 求出应力和强度的概率密度函数F(S),F(R) i?1 生成随机数，分别计算S1,R1 若S1?R1，记为1，否则记为0 否 i?N 是 计算S1?R1的次数，N(R?S)?0 结束 ??N(R?S)?0 N
图16 蒙特卡罗法流程 Fig. 16 Monte Carlo method steps
蒙特卡罗法是数值模拟随机方法，用蒙特卡罗法解决问题是，绝大部分的运算工作都是用随机数进行的，但是运算需要大量随机数才能保证统计计算的结果
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3.玻璃钢锚杆支护可靠性分析
精确性。在计算机上，已经使用的三种随机数产生方法：用物理方法随机数产生器产生真正的随机数；把已有的随机数表输入计算机内；用数学方法产生伪随机数。
蒙特卡罗法是一种公认的相对精确的可靠度计算方法，蒙特卡罗法在计算可靠度时，不论结构状态函数是否线性，随机变量是否为正态分布，只要模拟的次数足够高，就可得到一个比较精确的可靠度指标。蒙特卡罗法能很好的解决可靠度的计算问题，但是也存在缺点：第一，随机数的产生；第二，模拟次数需要足够高。 3.4.2中心点法
中心点法又称一次二阶矩法，该法首先将结构功能函数在随机变量的平均值（中心点）处用泰勒级数展开并取线性项，然后求功能函数的平均值和标准差[51]。
Z?g(x1,x2,?,xn)，x1,x2,?,xn生成的空间极为?.取空间?上的中心点
M(?x1,?x2,?,?xn)，它以各基本变量的均值为坐标。将结构状态功能函数Z按泰勒级数在?处展开：
?g Z?g(?x1,?x2,?,?xn)??(xi??xi)?xii?1取线性项作线性化处理：
n?xi(xi??xi)2?2g???22?xii?1n?? (3-11)
?xi Z?g(?x1,?x2,?,?xn)??(xi??xi)i?1n?g?xi (3-12)
?xi极限状态方程为：
Z?g(?x1,?x2,?,?xn)??(xi??xi)i?1n?g?xi?0 (3-13)
?xi平均值：
方差：
?z?g(x1,x2,?,xn) (3-14)
n?2g ???[(xi??xi)?2?xii?12z]2 (3-15)
?xi点M位于可靠区内。Z?0将空间分为可靠区和失效区，Z?0为曲面的失效边界。由均值和标准差计算可靠度为???z.具体表示如下： ?z
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???z??zg(x1,x2,?,xn)?[(xi?1ni??xi)??g?xi22 (3-16)
]2?xi中心点法特点：
计算简单，不必知道基本变量的真实概率分布，只需知道其统计参数：均值、方差或变异系数；
?较小时，Pf较大，Pf对于基本变量联合概率分布类型很不敏感，由合理分布计算Pf在同一个数量级内；
?较大时，Pf较小，Pf对于基本变量联合概率分布类型很敏感，由合理分布计算Pf在几个数量级范围内变化；
中心点法的不足：
不能考虑随机变量的实际分布，只取随机变量的一阶矩和二阶矩。?精度较高，但是当Pf?10?5时，使用中心点法必须正确估计概率分布类型和联合密度分布类型。计算结果比较粗糙。
非线性结构功能函数由于随机变量平均值不在极限状态曲面上，线性化处理后的极限状态曲面，可能会较大程度地偏离原来的可靠指标曲面所以误差较大，且不可避免。
有相同力学含义但不同表达式的极限状态方程，由中心点法计算的可靠度指标可能不同。 3.4.3设计验算点法
设计验算点法是一次二阶矩法的改进，改进的地方是：泰勒级数不是在中心点处展开，而是选在极限状态曲面上，而且选取的点是有很大可能失效的点，这个点称为设计验算点[17]。
不以通过中心点的曲面作为线性近似，而是以Z?0上的某一点
???以避免中心点法的误差。将基本变量xi具X?(x1,x2,?,xn)的超切平面为线性近似，
有分布类型变换到在X?处与正态分布等价的条件中，变换为当量正态分布，这样可使所得的可靠度指标与失效概率之间有一个明确的一一对应关系。从而在?中合理的反映了分布类型的影响。
???设特定点X?(x1,x2,?,xn)为验算点，可靠度指标在U空间上的几何意义就是
从原点M（中心点）到极限状态超曲面Z?0的最短距离。在超曲面Z?0上，离原点M最近的点X?即为验算点。这样很容易写出通过验算点X?在超曲面Z?0上的超切平面的方程式：
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3.玻璃钢锚杆支护可靠性分析
Z?g(x,x,?,x)??(xi?xi?)?1?2?ni?1n?g1?xi (3-17)
X????因为X?是Z?0上的一点，g(x1,x2,?,xn)?0，超切平面方程化为：
Z1??(xi?1ni?xi?)?g?xi (3-18)
X?其可靠度可以表示为：
??xi?? ??i?1nn?g?xiX?2 (3-19)
?(i?1?g?xi)X?设计验算点法的优点：当量正态过程保证了可靠度与失效概率间有一一对应的关系，可靠度反映了实际分布类型，补充了中心点法的不足之处。线性的点不是选在平均值处，而是选在失效边界上，并且该线性化点（设计验算点）是与结构最大失效概率相对应的。设计验算点发不用考虑随机变量是否正态，将?空间变换到U空间是一种当量正态化的过程。
设计验算点法与中心点法都是不用考虑随机变量的分布类型是否为线性，如果结构状态功能函数是非线性的，这两种计算方法的第一步都是需要将结构功能状态函数按泰勒级数展开，取线性项，方便计算结构功能状态函数的均值和方差。一般利用均值和方差来计算可靠度相对容易，均值（一阶原点矩）和方差（二阶中心矩）是较容易获得的参数。 3.4.4当量正态化法
拉克维兹——斯考夫法是国际结构安全度联合委员会推荐的方法，又称JC法。对于随机变量非正态的情况，需要进行转化，将其转化为正态分布。将结构状态功能函数Z?g(x1,x2,?,xn)按照变换ui?xi??xi?x将?空间变换到U空间得：
iZ1?g1(u1,u2,?,un)，这是一个当量正态化的过程。根据验算点法可得U空间内验
???算点P?(u1,u2,?,un)在超曲面Z1?0上的超切面的方程式：
Z1?g1(u,u,?,u)??(ui?ui?)?1?2?ni?1n?g1?ui (3-20)
P????由于P?是Z1?0上的点，g1(u1,u2,?,un)?0，故超切平面
Z1?
?(ui?ui?)i?1n?g1?ui (3-21)
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故可靠度可以表示为
??ui?? ??i?1nn?g?uiP?2 (3-22)
?(i?1?g?ui)P?派罗黑摩法是求解n维非正态分布可靠度的另一种方法。它与JC法相似，首先将非正态分布的随机便量，用一个与原来函数等效的正态分布函数代替，只是派罗黑摩法是先将非正态的随机变量化为正态。
JC法和派罗黑摩法是对一次二阶二阶矩法的进一步改进，针对随机变量并非正态分布类型，首先对其当量正态化，属于当量正态分析法；有且仅有少数的非正态分布变量时，应用JC法和派罗黑摩法是合适的。蒙特卡罗法的适应性强，而且模型简单，精度较高。它不受极限状态方程的复杂性和随机变量的分布类型的限制，其误差仅和变量的标准差和样本量大小有关，但计算时间长，而且还忽略了基本变量间的相关性。
3.5单一锚杆的系统可靠度计算
根据支护可靠性模型建立单一锚杆的系统可靠度框图，单一锚杆的系统可靠度框图模型大结构为串联模型，如图所示单一锚杆的系统可靠度框图模型为并串联模型，如图所示
锚固段 子系统
杆体参数 子系统
支护参数 子系统
施工质量 子系统
图17 单一锚杆可靠性模型 Fig. 17 Single anchor reliability model
对其子系统进行划分，单一锚杆的系统可靠度框图模型为并串联模型，如图所示
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