21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)
设f(x)?lnx?x?1，证明：
(Ⅰ)当x﹥1时，f(x) ﹤ (Ⅱ)当1?x?3时，f(x)?【答案】
329(x?1)x?5（ x?1）
22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a∈R，函数f(x)?4x3?2ax?a （1）求f(x)的单调区间
（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ 2?a＞0. 【答案】
【解析】（1）由题意得f?(x)?12x2?2a，
当a?0时，f?(x)?0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为???,???.
a6a?)，此时函数f(x)的单调递增区间为??6?33当a?0时，f?(x)?12(x?)(x?a6,a??. 6?(2)由于0?x?1，当a?2时，f(x)?a?2?4x?2ax?2?4x?4x?2. 当a?2时，f(x)?a?2?4x?2a(1?x)?2?4x?4(1?x)?2?4x?4x?2.
3333333设g(x)?2x3?2x?1,0?x?1，则g?(x)?6x2?2?6(x?则有 x )(x?).
0 ?3? 0,????3??33 ?3?,1? ??3???1 g?(x) g(x) 1 - 减 0 极小值 + 增 1
所以g(x)min?g(33)?1?439?0.
3当0?x?1时，2x?2x?1?0.
故f(x)?a?2?4x?4x?2?0.
23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数f(x)?13x?x?ax
323（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）设f(x)有两个极值点x1,x2，若过两点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y?f(x)上，求a的值。
24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)
已知函数f(x)?lnx?kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y?f(x)在点
(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)设g(x)?xf?(x)，其中f?(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e?2.
1【答案】(I)
f?(x)?x?lnx?kex，
?0由已知，f?(1)?1?ke1，∴k?1.
(II)由(I)知，设k(x)?1xf?(x)?x?lnx?1ex.
1x2?lnx?1，则k?(x)???1x?0，即k(x)在(0,??)上是减函数，
由k(1)?0知，当0?x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0， 当x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,??).
(III)由(II)可知，当x?1时，g(x)?xf?(x)≤0＜1+e?2，故只需证明g(x)?1?e?2在0?x?1时成立.
当0?x?1时，ex＞1，且g(x)?0，∴g(x)?1?xlnx?xex?1?xlnx?x.
设F(x)?1?xlnx?x，x?(0,1)，则F?(x)??(lnx?2)， 当x?(0,e?2)时，F?(x)?0，当x?(e?2,1)时，F?(x)?0， 所以当x?e?2时，F(x)取得最大值F(e?2)?1?e?2. 所以g(x)?F(x)?1?e?2.
综上，对任意x?0，g(x)?1?e?2.
25.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分）
n设函数fn(x)?x?bx?c(n?N?,b,c?R)
（1）设n?2，b?1,?1?c??1，证明：fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点；
?2?（2）设n为偶数，f(?1)?1，f(1)?1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n?2，若对任意x1,x2?[?1,1]，有|f2(x1)?f2(x2)|?4，求b的取值范围； 【答案】
