2012年高考试题分类汇编：导数
1.【2012高考重庆文8】设函数f(x)在R上可导，其导函数f?(x)，且函数f(x)在x??2处取得极小值，则函数y?xf?(x)的图象可能是
【答案】C
2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数
A. 若e+2a=e+3b，则a＞b B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b C. 若e-2a=e-3b，则a＞b
ab
D. 若e-2a=e-3b，则a＜b 【答案】A
3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=A．x=
122xa
b
a
b
+lnx 则 （ ）
12为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D.
4.【2012高考辽宁文8】函数y=
12x2?㏑x的单调递减区间为
（A）（?1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞） 【答案】B
5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0. 其中正确结论的序号是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C．
6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，?2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为
(A) 1 (B) 3 (C) ?4 (D) ?8 【答案】C
7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________ 【答案】y?4x?3
8.【2012高考上海文13】已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,1)、
21C(1,0)，函数y?xf(x)（0?x?1）的图像与x轴围成的图形的面积为
【答案】
14。
9【2102高考北京文18】（本小题共13分） 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。
若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值； 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。 【答案】
10.【2012高考江苏18】（16分）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点。
已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点． （1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；
（3）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，2]，求函数y?h(x)的零点个数． 【答案】解：（1）由f(x)?x3?ax2?bx，得f'(x)?3x2?2ax?b。 ∵1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点，
∴ f'(1)?3?2a?b=0，f'(?1)?3?2a?b=0，解得a=0，b=?3。 （2）∵ 由（1）得，f(x)?x3?3x ，
∴g?(x)?f(x)?2=x3?3x?2=?x?1??x?2?，解得x1=x2=1，x3=?2。 ∵当x0， ∴x=?2是g(x)的极值点。
∵当?2
（3）令f(x)=t，则h(x)?f(t)?c。
先讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况：d???2, 2?
当d=2时，由（2 ）可知，f(x)=?2的两个不同的根为I 和一2 ，注
意到f(x)是奇函数，∴f(x)=2的两个不同的根为一和2。
当
d<22时，∵
f(?1)?d=f(2)?d=2?d>0，
f(1)?d=f(?2)?d=?2?d<0 ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是f(x)=d的根。 由（1）知f'(x)=3?x?1??x?1?。
???时，f'(x)>0 ，于是f(x)是单调增函数，从而① 当x??2，f(x)>f(2)=2。
???无实根。 此时f(x)=d在?2， 2?时．f'(x)>0，于是f(x)是单调增函数。 ② 当x??1，又∵f(1)?d<0，f(2)?d>0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理，f(x)=d在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
1?时，f'(x)<0，于是f(x)是单调减两数。 ③ 当x???1，又∵f(?1)?d>0， f(1)?d<0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d在（一1，1 ）内有唯一实根。
x2=2；当因此，当d=2时，f(x)=d有两个不同的根x1，x2满足x1=1，d<2 时
i=3, 4, 5。 f(x)=d有三个不同的根x3，x1，x5，满足xi<2，现考虑函数y?h(x)的零点：
( i ）当c=2时，f(t)=c有两个根t1，t2，满足t1=1，t2=2。 而f(x)=t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故y?h(x)有5 个
零点。
( 11 ）当c<2时，f(t)=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足
ti<2， i =3, 。 4 , 5而f(x)=ti ?i=3, 4, 5?有三个不同的根，故y?h(x)有9 个零点。 综上所述，当c=2时，函数y?h(x)有5 个零点；当c<2时，函数y?h(x)有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
【解析】（1）求出y?f(x)的导数，根据1和?1是函数y?f(x)的两个极值点代入列方程组求解即可。
（2）由（1）得，f(x)?x3?3x，求出g?(x)，令g?(x)=0，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分d=2和d<2讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况；再考虑函数y?h(x)的零点。
11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分） 已知函数f(x)?13x?31?a2x?ax?a，x
2其中a>0.
（I）求函数f(x)的单调区间；
（II）若函数f(x)在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1时，设函数f(x)在区间[t,t?3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[?3,?1]上的最小值。
【答案】
