q q q q W W R R R R πεπεπεπε=+=+=。
思考题12
12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有q +和q -的
电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认
为电场线应如何分布。
答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，
两板的电场线接近板面时应该垂直板面。
12-2．在“无限大”均匀带电平面A 附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为σ+，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？ 答：2
1σ
σ-
=，2
2σ
σ=
。
12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 之间的关系是怎样的？
答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。
12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的 距离为d 处(d πεq d πεq U 00044-+ = 12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A 内，放一 带有电荷为Q +的带电导体B ，如图所示，则比较空腔导体A 的 电势A U 和导体B 的电势B U 时，可得什么结论？ 答：A U 和B U 都是等势体，3 04R Q U A πε= ； ??? ? ??-+=210301144R R Q R Q U B πεπε 习题13 13-1 ． 如图为半径为R 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表 面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P (沿x 轴)。 （1）0P P =；（2） R x P P 0 =。 解：可利用公式'cos S S q P d S P d S θ=-?=-???? 首先考虑一个球的环形面元，有：2sin ()d S R Rd πθθ=，（1）0P P =时，由'cos P σθ=知10'cos P σθ=， 22 100 'cos 2sin sin 220 2 R P q P R d d π π πθπθθθθ=-?=- =?? ； （2） R x P P 0 =时， 220 00cos 'cos cos cos x R P P P R R θσθθθ===，P sin θ 222 22000 'cos 2sin 2cos cos q P R d R P d π π θπθθπθθ =-?=?? 223000 24cos 3 3 R P R P πππθ ==- 。 13-2．平行板电容器，板面积为2cm 100，带电量C 109.87-?±，在两板间充满电介质后，其场强为V/m 104.16?，试求：（1）介质的相对介电常数r ε；(2)介质表面上的极化电荷密度。 解：（1）由0r E σεε= ，有：18.710100104.11085.8109.84 6127 0=??????==---ES Q r εε （2）520'(1)7.6610r P E C m σεε-==-=? 13-3 ．面积为S 的平行板电容器，两板间距 为d ，求：（1）插入厚度为3 d ，相对介电常数为r ε的电介质， 其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3 d 的导电板， 其电容量又变为原来的多少倍？ 解：（1）电介质外的场强为：00 E σ ε= ， 而电介质内的场强为： 0r r E σεε= ， 所以，两板间电势差为：00233r d U d σσεεε= ?+?， 那么， 03(21)r r S Q S C U U d εεσε= ==+，而 00S C d ε= ，∴0321r r C C εε=+； （2）插入厚度为3 d 的导电板，可看成是两个电容的串联， 有： 00123/3 S S C C d d εε== = ， ∴ 0021212323C d S C C C C C ==+=ε?032C C = 。 13-4 ．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质 3 d 3 d 3 d 后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为0σ与σ'(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E ；（2）相对介电常数r ε。 解：（1）由： 1 (') S E d S q q ε?= +∑??，有： 00 'E σσε-= （∵'σ给出的是绝对值） （2）又由00r E σεε= ，有：0000 0000''r E σσεσεεεσσσσ= =?= --。 13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷面密度为σ，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为r ε) 解：由'S q P d S =-???，考虑到0(1)r P E εε=-， 有：0'(1) S r q E d S εε?=- -?? ， 与 0' S q q E d S ε+?=?? 联立，有：00'' (1)r q q q εεε+- = -， 得：(1)'r r q q εε-=- ，∴ 1'r r εσσε-=- 。 13-6 ．如图所示，半径为0R 的 导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心 球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率 为r ε，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。 解：利用介质中的高斯定理 i S S D dS q ?=∑??内 。 （1）导体内外的电位移为：0r R >， 2 4Q D r π= ；0r R <，0D =。 （2）由于0r D E εε= ，所以介质内外的电场强度为： 0 r R < 时，10E =；时，第四/ σ +σ -
