题
12-1．一半径为10.0米的孤立导体球，已知其电势为V 100(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。
解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：00
4Q
R U R σπεε==， 则：129208.85101008.85100.1U
C m R εσ--??===?。
12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为cm 0.61=r ，cm 0.122=r ，都带有C 1038-?的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。
解：半径分别为1r 的电量为1q ，2r 电量为2q ， 由题意，有：
1201
02
44q q r r πεπε=
┄①，821106-?=+q q ┄②，
①②联立，有：81210q C -=?，82410q C -=?。
12-3．
有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径
为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势． 解：由高斯定理，可求出场强分布：
132322032141
2004024E r R q E R r R r E R r R q E r R r πεπε=
<
=<
>???
∴32
1
3
2
1
012340R R R R R R U E d r E d r E d r E d r ∞
=
?+?+?+??
???
2
3
1
2
2
00244R R R q q dr dr r r
πεπε∞
=+?
?
321
112
(
)4q R R R πε=-+。
12-4
．一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径
分别为1R 、2R ．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出r E ~和r V ~曲线. 解：由高斯定理，可求出场强分布：
112
021232
200404q E r R r E R r R q E r R r πεπε?=<
=<
?=
>??
∴电势的分布为： 当10r R <≤时，12
12
2
0044R r
R q q U dr
r r πεπε∞
=
+?
?
012
111
()4q
r R R πε=
-+； 当12R r R <≤时，2
22
002
44R q q U dr r
R πεπε∞
=
=
?
；
r
r
12
当2R r ≥时，320044r q q U dr r r πεπε∞
==?。
12-5．半径10.05,R m =，带电量8310C q -=?的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8210C Q -=-?。试求距球心r 处的P 点的场强与电势。（1）0.10r m =（2）0.06r m =（3）0.03r m =。
解：由高斯定理，可求出场强分布：
112122032343
20040
4E r R q E R r R r E R r R Q q E r R r πεπε=??? ∴电势的分布为： 当1r R ≤时，2
1312
20044R R R q Q q U dr dr r r πεπε∞
+=+??0120311()44q Q q R R R πεπε+=-+， 当12R r R <≤时，232220044R r R q Q q U dr dr r r πεπε∞+=
+??020311()44q Q q r R R πεπε+=-+， 当23R r R <≤时，33204R Q q U dr r πε∞+=?034Q q R πε+=， 当3r R >时，420044r Q q Q q U dr r r
πεπε∞++==?， ∴（1）0.10r m =，适用于3r R >情况，有：
3420910N 4Q q E r πε+=
=?，40900V 4Q q U r
πε+==； （2）0.06r m =，适用于12R r R <<情况，有： 42207.510N 4q E r πε==?，32020311() 1.6410V 44q
Q q U r R R πεπε+=-+=?； （3）0.03r m =，适用于1r R <情况，有：
10E =，3101203
11() 2.5410V 44q
Q q U R R R πεπε+=-+=?。
12-6．两块带有异号电荷的金属板A 和B ，相距mm 0.5，两板面积都是2cm 150，电量分别为C 1066.28-?±，A 板接地，略去边缘效应，求：（1）B 板的电势；（2）AB 间离A 板mm 0.1处的电势。 解：（1）由0E σε=有：0q E S ε=， 则：0AB qd U Ed S ε==，而0A U =， ∴83
1222.661051010008.8510 1.510B U V ----???=-=-???，
B
5mm
离A 板mm 0.1处的电势：31
(10)2005
P U V =
?-=-
12-7．平板电容器极板间的距离为d ，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t (t 无金属板时电势差为：0100 U E d d σ ε=?=， 有金属板时电势差为：0200 ()()U E d t d t σ ε=?-=-， 电势差比为：0 01020 ()d U d U d t d t σεσε==--； （2）设无金属板时极板带电量为0Q ，面电荷密度为0σ， 有金属板时极板带电量为Q ，面电荷密度为σ。 由于12U U =，有0()E d E d t ?=?-，即000 ()d d t σσ εε?=- ∴00Q d t Q d σσ-==。 解法二： 无金属板时的电容为：00S C d ε= ，有金属板时的电容为：00S C d t ε= -。那么： （1）当极板电荷保持不变时，利用Q C U = 知：12U d U d t =-； （2）当极板电压保持不变时，利用Q C U =知：0Q d t Q d -=。 12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E 垂直于地面向下，大小约为V/m 130.在离地面km 5.1的高空的场强也是垂直向下，大小约为5V/m 2. （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到km 5.1高空的空气中的平均电荷密度． 解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用00 E σ ε=考察，选竖直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为0130E V =-，所以： 129208.8510(130) 1.1510E C m σε--==??-=-?； （2）如图，由高斯定理 01 i S S E dS q ε?= ∑?? 内 ，有： 00 '()h S E S E S ρε??+-?=，则：312 1.51025(130)8.8510ρ-??---=?， 得：1336.210C m ρ-=?。 + U km '25 E =- 12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴为r 处(1R 解：∵1R ， ∴内外圆柱间电势差为：21212001ln 22R R R V V dr r R λλπεπε-= =? 则：12021()2ln() V V R R λπε-= 同理，r 处的电势为：2 2200ln 22R r r R U V dr r r λλπεπε-==?（*） ∴220ln 2r R U V r λπε=+212221ln()()ln()R r V V V R R =-+。 【注：上式也可以变形为：r U =111221ln()() ln()r R V V V R R =--，与书后答案相同，或将（*）式用：11001 ln 22r r R r V U dr r R λλπεπε-= =?计算，结果如上】 12-10 ．半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a 和b 的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：0044a b a b q q r r πεπε=┄①，再由系统电荷为Q ，有：a b q q Q +=┄② 两式联立得：a Qa q a b =+，b Qb q a b =+； （2）根据电容的定义：04a Q Q C U q a πε==（或04b Q Q C U q b πε==），将（1）结论代入， 有：04()C a b πε=+。 12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。 解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：204Q E r πε=， 2 而电势差：200 44b b a a Q Q b a U E d r d r r ab πεπε-=?==? ??， ∴04Q Uab b a πε=-，那么，场强表达式可写为：2a b U E b a r =?-。 因为要考察内球表面附近的场强，可令a r =，有：()a bU E b a a =-， 将a 看成自变量，若有0a dE da =时，出现极值，那么：22 (2)0()bU b a ab a --=- 得：2b a =，此时：min 4a U E b =。 12-12．一空气平板电容器，极板B 、A 的面积都是S ，极板间距离为 d ．接上电源后，A 板电势V U =A ，B 板电势0B =U ．现将一带有 电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片C 平行插在两极板的中间位 置，如图所示，试求导体片C 的电势。 解：由题意，22AB BC d d V E E =? +?，而：0 A A B E σε=，0A B C E σσε+= 且q S σ=，∴002A d q d V S σεε=+，则：00()2A q d V S d εσε=-。 导体片C 的电势：022 A C C B CB d d U U E σσε+==?=?， ∴01()22 C q U V d S ε=+。 12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球1r R =，大球24r R =，两球各自带有电量为q ，有： 接触之前的电势能：2 2 000444q q W R R πεπε=+； （2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为1q ，大金属球带电为2q ， 有：1 2010244q q R R πεπε=┄①和122q q q +=┄②，①②联立解得：125q q =，285q q =。 那么，电势能为：222 2120000046416252544444425
