径为：
tan
2r x θ
=，环面圆宽：
cos
2
d x d l θ
=
22tan 2cos 2
d x
dS r d l x θππθ
=?=??
，
利用带电量为q 的圆环在垂直环轴线上0x 处电势的表达式：
14U πε=
环，
x
cos
2
dx θ
有：
02tan 2
cos
1tan 422d x
x dU d x
θσπθσθπεε??
=
=?，
考虑到圆台上底的坐标为：11cot
2
x R θ
=，22cot
2
x R θ
=，
∴U =2
1
0tan 22x x
d x σθ
ε??
21cot 2cot 02tan 22R R d x θθσθε=
??210()2R R σε-=。
11-14．电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处（r R <）P 点的电势。
解：利用高斯定律：
01
S
S E dS q
ε?=
∑??内
（1）r R <时，
3
2
3
04Q r r E R πε=?内；有：
E （2）r R >时，
204Q r E πε=外；有：0E =
外离球心r 处（r R <）的电势：R
r r
R
U E dr E dr
∞
=?+???外内，即：
320044R r r
R Q r Q
U dr dr R r πεπε∞=?+??
?2300
388Q Q r R R πεπε=-。
11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球
壳内表面半径为1R ，外表面半径为2R ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。 解：当1r R <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =，
当12R r R <<时，有：
203132
031323)(4)
(3
4
r R r r R r E ερπεπρ-=
-=
，
当2r R >时，有：
2031322
0313
233)(4)
(3
4r R R r R R E ερπεπρ-=
-=
，
以无穷远处为电势零点，有：
2
1
2
23R R R U E d r E d r ∞
=?+?????∞-+-=2
R dr r R R dr r R r R R
2031
32203133)(3)(2
1
ερερ)(221220R R -=ερ。
11-16．电荷以相同的面密度σ 分布在半径为110r cm =和220r cm =的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V 3000=U 。
（1）求电荷面密度σ；
（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度σ'为多少？
（212120m N C 1085.8---??=ε）
解：（1）当1r r <
当12r r r <<时，利用高斯定理可求得：21220r E r σε=当
2r r >时，可求得：2212320()r r E r σε+=， ∴212023r r r U E d r E d r ∞=?+???212
2221122200()r r r r r r d r d r r r σσεε∞+=+??)(210r r +=εσ 那么：2
9312210
01085.810303001085.8m C r r U ---?=???=+=εσ （2）设外球面上放电后电荷密度'σ，则有：
0120'(')/0U r r σσε=+=，∴1
2'2r r σσσ=-=-
则应放掉电荷为：
2'22234()42
q r r πσσσπ?=-=?124 3.148.85103000.2-=?????96.6710C -=?。
11-17．如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，细线左端离球心距离为0r 。设球和线上的电荷分布不
受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在
该电场中的电势能（设无穷远处的电势为
零）。
解：（1）以O 点为坐标原点，有一均匀带电
细线的方向为x 轴，
均匀带电球面在球面外的场强分布为：
204q E r πε=（r R >）。
取细线上的微元：dq dl dr λλ==，有：d F E dq =， ∴0020000?44()r l
r q
ql r F dr x r r l λλπεπε+==+?（?r 为r 方向上的单位矢量） （2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：
04q
U r πε=（r R >，∞为电势零点）。
对细线上的微元dq dr λ=，所具有的电势能为：
04q dW d r r λπε=?， ∴000000ln 44r l r r l q dr q W r r λλπεπε++==?。
11-18. 一电偶极子的电矩为p ，放在场强为E 的匀强电场中，
p 与E 之间夹角为θ，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p 、E 平面的轴转 180，外力需作功多少？
解：由功的表示式：d A Md θ= 考虑到：M p E =?，有：sin 2cos A pE d pE πθθθθθ+==?。
11-19．如图所示，一个半径为R 的均匀带电圆板，其电荷面密度为σ(＞0)今有一质量为m ，电荷为q -的粒子(q ＞0)沿圆
板轴线(x 轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O （也是x 轴原点）为b 的位置上时，粒子的速度为0v ，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的
均匀性始终不变)。
解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上0x 处产生的电势为：
00)2U x σε=，那么，
0(2Ob O b U U U R b σε=-=+，
由能量守恒定律，222000111()(2222Ob q m v mv qU mv R b σε=--=++，
有：
)(22020b R b R m q v v +-++=εσ
思考题11
11-1．两个点电荷分别带电q 和q 2，相距l ，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零? 答：由2200244()qQ qQ x l x πεπε=-
，解得：1)x l =，即离点电荷q 的
距离为1)l 。
11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？
（A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；
（B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；
（C ）场强方向可由q /F E =定出，其中q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电荷所受的电场力；
（D ）以上说法都不正确。
答：（C ）
11-3．真空中一半径为R 的的均匀带电球面,总电
量为q (q ＜0)，今在球面面上挖去非常小的一块
面积S ?(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分
布，则挖去S ?后球心处的电场强度大小和方向. 答：题意可知：
204q R σπε=，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷， 有：204S E R σπε?=，方向指向小面积元。
11-4．三个点电荷1q 、2q 和3q -在一直线上，相距均为R 2，以1q 与2q 的中心O 作一半径为R 2的球面，A 为球面与直线的一个交点，如图。求：
(1)通过该球面的电通量???S
E d；
(2)A点的场强A E。
解：(1)
12
S
q q
E dS
ε
+
?=
??
；(2)2
3
2
2
2
1
4
4
)
3(
4R
πε
q
R
πε
q
R
πε
q
E
A
-
+
=
。
11-5．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线
上距中心O点2/a处，
有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量
为多少？
解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心，
通过此正方体闭合外表面的通量为：0/qε
Φ=
闭合，那么，
通过该平面的电场强度通量为：0
6
q
ε
Φ=
。
11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？
(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；
(B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷；
(C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；
(D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。
答：(A)
11-7．由真空中静电场的高斯定理0
1
S
E d S q
ε
?=∑
?
可知
(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；
(B )闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；
(C )闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；
(D )闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C )
11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的
r E ~关系曲线．
请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。
(A )半径为R 的均匀带电球面；
(B )半径为R 的均匀带电球体；
(C )半径为R 、电荷体密度Ar =ρ(A 为常数）的非均匀带电球体；
(D )半径为R 、电荷体密度r A /=ρ(A 为常数)的非均匀带电球体。
答：(D )
11-9．如图，在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心、R 为半径的球面上一点P 处作电势零点，则与点电荷q 距离为r 的P'点的电势为
(A )r q
04επ
(B )??? ??-πR r q 1140ε (C )()R r q
-π04ε (D )??? ??-πr R q
1140ε
答：(B )
11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r 、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为12U ．当电势差增加到412U 时，半径为2r 的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？
解：g r πρq d U 31234?=┄①，g r πρq d U 312)2(344?='┄②
∴①②联立有：e q q 42=='。
11-11．设无穷远处电势为零，则半径为R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的0U 和b 皆为常量)：
答：(C )
11-12．无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例11-12。 大学物理第12章课后习
