（Ⅰ）求证：BC //平面DAE ；
18
（Ⅱ）求四棱锥D AEFB -的体积;
（Ⅲ）求面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值.
解:（Ⅰ）证：//,//,,CF DE FB AE BF CF F AE DE E ==
∴面//CBF 面DAE
又BC ?面CBF 所以BC //平面DAE
（Ⅱ）取AE 的中点H ，连接DH
,EF ED EF EA EF ⊥⊥∴⊥ 平面DAE
又DH ?平面DAE EF DH ∴⊥
2,AE ED DA DH AE DH ===∴⊥= DH ∴⊥面AEFB
所以四棱锥D AEFB -
的体积1223V =
?=
（Ⅲ）如图以AE 中点为原点，AE 为x
则(1,0,0)A -，D ，(1,2,0)B --，(1,0,0)E 所以DE 的中点坐标为1
(2 因为12CF DE = ，所以1(,2,
22C - 易知BA 是平面ADE 的一个法向量，1(0,2,0)BA n ==
设平面BCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =
由22
33(,,)(022(,,)(1,20n BC x y z x z n BD x y z x y ??=?=+
=????=?=+=? 令2,x =则2y =，z =-，2(2,2,n ∴=-
121212
cos ,n n n n n n ?==
=
所以面CBD 与面DAE 132．【2010·北京市海淀区高三第二学期期末练习】已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为矩
形，侧棱PA⊥底面ABCD ，其中BC=2AB=2PA=6，M ，N 为侧棱PC 上的两个三等分点，如图所示.
A
B
E
F C D
A C
D
E
F
B 图1
图2
19 （Ⅰ）求证：AN//平面MBD ；
（Ⅱ）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角M-BD-C 的余弦值.
解：（Ⅰ）连结AC 交BD 于O ，连结OM ，
ABCD 底面为矩形，
O AC ∴为中点，
M N PC 、为侧棱的三等分点，
CM MN ∴=，
//OM AN ∴ ，
,OM MBD AN MBD ?? 平面平面，
//AN MBD ∴平面.
（Ⅱ）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(3,6,0)C ，(0,6,0)D
(0,0,3)P ，(2,4,1)M ，(1,2,2)N ,
(1,2,2),(0,6,3)AN PD ==- , cos ,AN PD AN PD AN PD
?∴<>== ∴异面直线AN 与PD （Ⅲ） 侧棱PA ABCD ⊥底面,(0,0,3)BCD AP ∴= 平面的一个法向量为,
设MBD 平面的法向量为(,,)x y z =m ,
(3,6,0),(1,4,1)BD BM =-=- ，并且,BD BM ⊥⊥ m m ,
36040x y x y z -+=?∴?-++=?
，令1y =得2x =，2z =-, ∴MBD 平面的一个法向量为(2,1,2)=-m
. 2cos ,3AP AP AP ?<>==- m m m ,
由图可知二面角M BD C --的大小是锐角,
∴二面角M BD C --大小的余弦值为23 .
(20) (本题满分15分)如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠= ，E F ，分别是BC PC ，的中点．
（Ⅰ）证明：AE PD ⊥；
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD
20
E A
F C --的余弦值．
(20)满分15分。
（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=
，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD 且PA AD A = ， 所以AE ⊥平面PAD ．又PD ?平面PAD ，
所以AE PD ⊥． …………………………………7分
（Ⅱ）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAD ，
则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角． 在Rt EAH △
中，AE =
所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．
此时tan AE EHA AH ∠=
==
因此AH =2AD =，所以45ADH ∠= ，
所以PA =． ………………………………………10分
解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ?平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ． 过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，
过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，
在Rt AOE △
中，sin 30EO AE == 3cos302AO AE ==
， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △
中，sin 454
SO AO == ，
又SE ==Rt ESO △中，P
B
E D
F
A
(第20题)
P
B E
C
D F
A H
O S
21 cos SO ESO SE ∠===
5．……………14分 解法二：
由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以
(000)10)(020)A B C D -，，，，，，，，，，
1(002)0)12P E F ?????，，，，，，，，
所以10)12AE AF ?==???? ，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ， 则00AE AF ?=??=?? ，，m m
因此11110102
x y z =++=，． 取11z =-，则(021)=-，，m ，因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A = ， 所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量．
又(0)BD = ，
，所以cos 5BD BD BD
<>=== ，m m m ． 因为二面角E AF C --
为锐角，所以所求二面角的余弦值为
5
．………………14分
23.【2010·全国卷1文数】直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=?，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【答案】C
【解析】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=.
42．【2010·河北省衡水中学一模】正四棱锥P —ABCD 的底面积为3
，体积为2E 为侧棱
