1 浙江省江山中学2011学年第一学期高二期末考试
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设(1,1,1)a =-- ，(1,0,1)b =- ，则cos ,a b 的值为（ ▲ ）
A ．2
1 B ．2
2 C ．36 D ．2
3 2．如图Rt O A B '''?是一平面图形的直观图，直角边2O B ''=，则
这个平面图形的面积是（ ▲ ）
A
． B ．1 C
D
．3．
“m =”是“直线y x m =+与圆221x y +=相切”的（ ▲ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的全面积为（ ▲ ）
A
．2(6a π+ B
．2(5a π C
．2(5a π D
．2(6a π
5．已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与这个正方体的体积之比为（ ▲ ）
A
．12 B
．2
C ．2π
D ．3π 6．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1和平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为（ ▲ ）
A ．410
B ．66
C ．26
D ．2
10 7．已知,m n 为直线，βα,为平面，给出下列命题：
学科网
正视图
侧视图
俯视图
2 ①//m n m n αα⊥???⊥? ②//m m n n ββ⊥???⊥? ③//m m ααββ⊥???⊥? ④////m n m n αβαβ????????
学科网
其中的正确命题序号是（ ▲ ）
A ．③④
B ．②③
C ．①②
D ．①②③④
8．用一个与圆柱底面成30?角的平面截圆柱，截口是一个椭圆，则此椭圆的离心率是（ ▲ ）
A ．21
B ．22
C ．23
D ．3
3 9．有一矩形纸片ABCD ,按右图所示方法进行任意折叠,使每次折叠后点B 都落在边AD 上,将B 的落点记为B '，其中EF 为折痕,点F 也可落在
边CD 上，过B '作B 'H ∥CD 交EF 于点H ，则点H
的轨迹为（ ▲ ）
A ．圆的一部分
B ．椭圆的一部分
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分 10．从双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT
-与b a -的大小关系为（ ▲ ）
A ．MO MT b a ->-
B ．MO MT b a -=-
C ．MO MT b a -<-
D ．不确定
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填写在答题卷的相应位置。
11.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 ▲
12.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点(2,1)对称，则直线2l 恒过定点 ▲
13.若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
163x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ▲ 14.已知1F ,2F 的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且1PF ⊥2PF ，若12PF F ?的面积为4，则b = ▲
B （ 第9题 ）
3 15.已知双曲线]2,2[),(122
22∈∈=-+e R b a b
y a x 的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是 ▲
15.过抛物线()220x py p =>的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B
两点(点A 在y 轴左侧)，则FB
AF ＝ ▲ 16.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
221(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ? 的取值范围为 ▲
16.已知平面内一点},16)sin 2()cos 2(|),{(2
2R y x y x P ∈=-+-∈ααα，则满足条件的点P 在平面内所组成的图形的面积是 ▲
17.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是 ▲
三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18 （本小题满分14分） 设命题p :对任意实数x ，不等式2
2x x m ->恒成立；命题q :曲线22
135x y m m +=--是双曲线，若命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.
18 （本小题满分14分）
设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<,0a >,命题q ：实数x 满足2260280x x x x ?--≤?+->?
① 若1a =，且“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；
② 若“p ?”是“q ?”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。
4 19 （本小题满分14分）
如图3所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点， （I ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；
（II ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
20 (本小题满分14分)
已知圆C 过点(4,1)-，且与直线350x y +-=相切于点(2,1).
（I ）求圆C 的方程；
（II ）是否存在斜率为1的直线l ，使得l 被圆C 截得弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，
若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
5 21 （本小题满分15分）
如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=
，E F ，分别是BC PC ，的中点．
（I ）证明：AE PD ⊥；
（II ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD
E A
F C --的余弦值．
22 （本小题满分15分） 已知：圆221x y +=过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点；直线y kx m =+与圆221x y +=相切，与椭圆22
221x y a b +=相交于,A B 两点.记OA OB λ= ，且2334
λ≤≤ （I ）求椭圆的方程； （II ）求k 的取值范围； (III)求OAB ?的面积S 的取值范围.
P B E C D
F A (第21题)
6 22 （本小题满分15分） 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为2
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F
为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；
（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；
若不存在，请说明理由.
7 江山中学2011学年第一学期高二期末考试
数学（理科）答题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填写在答题卷的相应位置。
11．
2
12．(0,2) 13．6
14．2
15．[,]43ππ 16．32π 17． 15．31 16． [3)++∞ 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18（本小题满分14分） 解：对任意实数x ，不等式22x x m ->恒成立，即220x x m -->恒成立。 ?440m ?=+<， ∴ 1m <-.................. .....................................................................3分 曲线22135x y m m +=--是双曲线(3)(5)0m m ?--<， ∴ 3m <或5m >.................. .........................................................6分。 P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，即P 真Q 假，或P 假Q 真， 如果P 真Q 假，则有135m m <-??≤≤?，∴m 无解 (9)
分 如果P 假Q 真，则有135m m m ≥-??<>?或．∴13m -≤<或5m >……………………13分 所以实数m 的取值范围为13m -≤<或5m > ……………………………………14分
8
19（本小题满分14分）
20 (本小题满分14分)
（Ⅰ）()()10212
2=++-y x （Ⅱ）假设l 存在，设b x y l +=:，()()2211,,,y x B y x A
由???=-+-++=054222y x y x b
x y 得054)22(22
2=-++++b b x b x ??
???-+=+-=+∴254)1(22121b b x x b x x
以AB 为直径的圆经过原点， 0=?∴→→OB OA 02121=+∴y y x x 0))((2121=+++∴b x b x x x 即0)(222121=+++b x x b x x
0532=-+∴b b 解得2
293±-=b +=∴x y 2293+-或-=x y 2
293+ 21（本小题满分15分） 解（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，可得ABC △为正三角形．
9 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．
又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，所以PA AE ⊥．
而PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD 且PA AD A = ，
所以AE ⊥平面PAD ．又PD ?平面PAD ，
所以AE PD ⊥． …………………………………7分
（Ⅱ）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，．
由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAD ， 则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．
在Rt EAH △
中，AE =
所以当AH 最短时，EHA ∠最大，
即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．
此时tan AE EHA AH ∠===
因此AH =2AD =，所以45ADH ∠= ，
所以PA =． ………………………………………10分
解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ?平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ． 过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，
过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，
在Rt AOE △
