中，sin 302
EO AE == ，3cos302AO AE == ， 又F 是PC 的中点，在Rt ASO △
中，sin 454
SO AO == ，
又SE ==Rt ESO △
中，cos 5SO ESO SE ∠===
．……………15分 解法二：
由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以
(000)10)(020)A B C D -，，，，，，，，，，
1(002)0)12P E F ?????，，，，，，，，
所以10)122AE AF ??== ? ??? ，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ， 则00AE AF ?=??=?? ，，m m
因此11110102
x y z =++=，． 取11z =-，则(021)=-，，m ，因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A = ， 所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量．
P B E C D F A H O S
10
又(0)BD = ，
，所以cos BD BD BD
<>=== ，m m m ． 因为二面角E AF C --
．………………14分 22（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意可知椭圆的焦距22c =，即1c =-------------------1分
又因为圆与椭圆有且仅有两个公共点，所以1b =
，所以a =分 所求椭圆的方程为2
212
x y +=--------------------------------4分 （II ）因为直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，
所以原点O
1=即221m k =+，--------------5分
把直线y kx m =+代入椭圆方程2222x y +=可得222(12)4220k x kmx m +++-=，
设()()1122,,,A x y B x y 则12221224212(1)
21km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?
，-------------------------7分 ()22121212121()OA OB x x y y k x x km x x m λ==+=++++
()22222
22222(1)411212121m k m k k m k k k -+=+-+=+++-------------------8分 由于2334λ≤≤，所以222133214
k k +≤≤+，解得2112k ≤≤------------------10分 (III)()()()()2222
22121211AB x x y y k x x =-+-=+- ()()2221121[4]k x x x x =++-()222
2,21k =-+（其中2112
k ≤≤）-----12分
43
AB ≤≤，-----------------------------------------14分 由于1122S AB d AB =
=，
23S ≤≤----------------------15分 22（本小题满分15分）
11 （Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c a
=2
，得a =，又22a c +
=1)，所以可
解得a =2c =，所以2
224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22
184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
22
144
x y -=。
命题人：徐兴峰 审题人：徐 琴
12 17．（本题满分10分）
在平面直角坐标系xoy 中，以C （1，—2）
为圆心的圆与直线10x y +++=相切。 （I ）求圆C 的方程；
（II ）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若
存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由。
17．解：（1）设圆的方程是222()()x a y b R -+-=
依题意得，所求圆的半径，||3R ==
∴所求的圆方程是22(1)(2)9x y -++= ………………4分
（2）设存在满足题意的直线l ，设此直线方程为y x m =+
设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，
依题意有OA ⊥OB 即12121212
1,1,0OA OB y y k k x x y y x x ?=-∴?=-∴+= ………………6分 因为2222(1)(2)92440
y x m y x m x y x y x y =+=+????-++=+-+-=??即 消去y 得：2222(1)440x m x m m ++++-= 所以2121244(1),2
m m x x m x x +-+=-+= ………………8分 12121122212121212320,()()0,()044(1)0
x x y y y x m y x m
x x x m x m x m x x m m m m m m +==+=+∴+++=+++=∴+--++= 即2x
解得124,1m m =-= ………………9分
经检验124,10m m =-=?>都符合题意
12::4,:1l l y x l y x ∴=-=+存在满足题意的直线 ………………10分
7.（本小题满分14分）
13 已知直线220x y -+=经过椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>> 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 和椭
圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，,AS BS 与直线10:3l x =
分别交于,M N 两点。
（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这
样的点T ，使得TSB ?的面积为
15
？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由
（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==
故椭圆C 的方程为2
214
x y += （Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33
k M 由22(2)14
y k x x y =+???+=??得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2
122814k x k -=+，从而12414k y k =+ 即222284(,),1414k k S k k
-++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ?=--????=??得10313x y k ?=????=-?? 101(,)33N k
∴- 故161||33k MN k =
+
14
又16180,||333k k MN k >∴=
+≥= 当且仅当16133k k
=，即14k =时等号成立
14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，14
k = 此时BS
的方程为64
20,(,),||55x y s BS +-=∴= 要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ?的面积等于
15，只须T 到直线BS
的距离等于T 在平行于BS 且与BS
的直线l 上。 设直线':10l x y ++=
,4=解得32t =-或52t =-
104.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900
.
(1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离.
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几
何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.满分14
分.
解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC.
由∠BCD=900，得CD ⊥BC ，
又PD DC=D ，PD 、DC ?平面PCD ，
所以BC ⊥平面PCD.
因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC.
（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：
易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等
.
15 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F. 易知
DF=2
，故点A 到平面PBC
（方法二）体积法：连结AC.设点A 到平面PBC 的距离为h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900.
从而AB=2，BC=1，得ABC ?的面积1ABC S ?=.
由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积
1133
ABC V S PD ?=?=. 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC.
又PD=DC=1
，所以PC .
由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ?
的面积2PBC S ?=
. 由A PBC P ABC V V --=，1133
PBC S h V ?==
，得h = 故点A 到平面PBC
84.【2010·湖南文数】如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点，
（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
16
126．【2010·河南省郑州市第二次质量预测】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，∠BAD
＝90°，AB ＝2，AD ＝3，CD ＝1，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE ＝
13AD,BF ＝13
BC ．现将此梯形沿EF 折至使AD
2）．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求点B 到平面CDEF 的距离；
（Ⅲ）求直线CE 与平面BCF 所成角的正弦值．
解：（I
）由题意：1,2,AE DE AD === 90EAD ∴∠= ，即EA AD ⊥，
又EA AB ⊥，AB AD A ?=，
AE ∴⊥平面ABCD ．…………3分
（Ⅱ）作AK DE ⊥于点K ，
11,33
AE AD BF BC == ，
17 //AB EF ∴．
又AB ?平面CDEF ，
EF ?平面CDEF ，
//AB ∴平面CDEF ．
故点A 到平面CDEF 的距离即为点B 到平面CDEF 的距离．…………5分
由图1,,,EF AE EF ED ED EA E ⊥⊥?=，
EF ∴⊥平面AED ，AK ? 平面AED ，
AK EF ∴⊥，又AK DE DE EG E ⊥?，＝．
AK ∴⊥平面CDEF ．
故AK 的长即为点B 到平面CDEF 的距离．…………7分
在Rt ADE
中，AK =， 所以点B 到平面CDEF
．…………8分 （用等体积法做，可根据实际情况分步给分）
（Ⅲ）以点A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
则5(0,2,0),(0,0,1),(0,,1)3
B C E F ，
1(0,,1),1,0),(1,1)3
BF BC CE =-=-=- ， 设平面BCF 的法向量(1,,)n y z = ，
由00
BF n BC n ??=???=??
得3n = ． 记直线CE 与平面BCF 所成的角为α，
则||sin 13||||CE n CE n α?===? ． 所以，直线CE 与平面BCF
136．【2010·青岛市四月质检】如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AD BC ABC ∠= ，,E F
分别为边AD 和BC 上的点，且//EF AB ，2244AD AE AB FC ====．将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的位置，使AD AE =．
