4 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.
求证：(1)平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；
(2)BC ∥平面AEF .
证明：(1)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1.
因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.
又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ?平面AEF ，AF ?平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF .
又因为BB 1?平面BB 1C 1C ，
所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C .
(2)因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝AC ，
所以Rt △AEB ≌Rt △AFC .
所以BE ＝CF .
又BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．
从而BC ∥EF .
又BC ?平面AEF ，EF ?平面AEF ，
所以BC ∥平面AEF .
4．(2018·常州期末)如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，点Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点．
(1)求证：BD ⊥AC ；
(2)过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF (点F 在棱PB 上)，求证：QF ∥BC .
证明：(1)因为PC ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥PC . 记AC ，BD 交于点O ，连结OP .
因为平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点．
在△PBD 中，PB ＝PD ，所以BD ⊥OP .
又PC ∩OP ＝P ，PC ?平面PAC ，OP ?平面PAC .
所以BD ⊥平面PAC ，
又AC ?平面PAC ，所以BD ⊥AC .
(2)因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC .
又AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，
所以AD ∥平面PBC .
又AD ?平面ADQF ，平面ADQF ∩平面PBC ＝QF ，
所以AD ∥QF ，所以QF ∥BC .
