3 B 组——大题增分练
1．(2018·盐城三模)在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是
菱形，M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点．
求证：(1)AC ∥平面DMN ；
(2)平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .
证明：(1)连结A 1C 1，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，因为AA 1綊BB 1，BB 1
綊CC 1，所以AA 1綊CC 1，所以A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC .又M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1，所以AC ∥MN .又AC ?平面DMN ，MN ?平面
DMN ，所以AC ∥平面DMN .
(2)因为四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，
所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而MN ?平面A 1B 1C 1D 1，
所以MN ⊥DD 1.
又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面A 1B 1C 1D 1也是菱形，
所以A 1C 1⊥B 1D 1，而MN ∥A 1C 1，所以MN ⊥B 1D 1.
又MN ⊥DD 1，DD 1?平面BB 1D 1D ，B 1D 1?平面BB 1D 1D ，且DD 1∩B 1D 1＝D 1，
所以MN ⊥平面BB 1D 1D .
而MN ?平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .
2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，
AB ＝BC ＝1，DC ＝2，点E 在PB 上．
(1)求证：平面AEC ⊥平面PAD ；
(2)当PD ∥平面AEC 时，求PE ∶EB 的值．
解：(1)证明：在平面ABCD 中，过A 作AF ⊥DC 于F ，则CF ＝DF
＝AF ＝1，
∴∠DAC ＝∠DAF ＋∠FAC ＝45°＋45°＝90°，即AC ⊥DA .
又PA ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴AC ⊥PA .
∵PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，且PA ∩AD ＝A ，
∴AC ⊥平面PAD .
又AC ?平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PAD .
(2)连结BD 交AC 于O ，连结EO .
∵PD ∥平面AEC ，PD ?平面PBD ，平面PBD ∩平面AEC ＝EO ，∴PD ∥EO ， 则PE ∶EB ＝DO ∶OB .
又△DOC ∽△BOA ，∴DO ∶OB ＝DC ∶AB ＝2∶1，
∴PE ∶EB 的值为2.
3.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)如图，
