微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用,本节我们将集中讨论微分方程的实际应用,尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力
五、追迹问题
设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正北行走; 甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以mv0(n 1)的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.
建立如图8-8-2所示的坐标系, 设所求追迹曲线方程为y y(x).经过时刻t, 甲在追迹曲线上的点为P(x,y),乙在点B(1,v0t).于是有
tan y
由题设, 曲线的弧长OP为
v0t y
, (8.15) 1 x
x
解出v0t代入(8.15), 得
y 2dx nv0t,
(1 x)y y
两边对x求导, 整理得
1x2
ydx. 0n
1
y 2. n
(1 x)y
这就是追迹问题的数学模型.
这是一个不显含y的可降阶的方程, 设y p(x),y p , 代入方程得
(1 x)p
两边积分, 得
1
p2 或 n
dp p2
dx
,
n(1 x)
1
ln(p p2) ln|1 x| ln|C1|,
n
即 p p
2
C1
. x
将初始条件y |x 0 p|x 0代入上式, 得C1 1.于是
y y 2
2
两边同乘y y ,并化简得
1
, (8.16) x
y y 2 x, (8.17)
