微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用,本节我们将集中讨论微分方程的实际应用,尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力
二、 逻辑斯谛方程:
逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.
一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.
如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.
设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t), 则有
dh(t)
kh(t)[H h(t)] (8.2) dt
其中k 0是比例常数. 这个方程为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.
下面来求解方程(8.2). 分离变量得
dh
kdt,
h(H h)
两边积分
dh
h(H h) kdt,
得 或
1
[lnh ln(H h)] kt C1, H
h
ekH tC1H C2ekH,t
H h
故所求通解为
C2HekHtHh(t) ,
1 C2ekHt1 Ce kHt
其中的C C
1
e C1H 0 是正常数. C2
函数h(t)的图象称为Logistic曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic曲线, 由于它的形状, 一般也称为S曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以
算得
t
limh(t) H.
这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.
注: Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染
