微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用,本节我们将集中讨论微分方程的实际应用,尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力
为x2(t),又设1外教员每年平均培养 个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为 (0 1), 表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率(0 1),于是有方程
dx1
x1 x1 (8.8) dtdx2
(1 )x1 x2 (8.9) dt
方程(8.8)有通解
x1 C1e( )t
11
若设x1(0) x0,则C1 x0,于是得特解
(8.10)
1( )t
(8.11) x1 x0e
将(8.11)代入(8.9)方程变为
dx21( )t
x2 (1 )x0e (8.12) dt
求解方程(8.12)得通解
1
(1 )x0
x2 C2e
t
e( )t (8.13)
22
若设x2(0) x0 ,则C2 x0
1 1
x0,于是得特解
2 1 1 t 1 1( )t
(8.14) x2 x0 x0 e x0e
(8.11)式和(8.14)式分别表示在初始人数分别为x1(0),x2(0)情况, 对应于 的取值, 在t年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取 1,即毕业生全部留在教育界, 则当t 时, 由于 ,必有x1(t) 而x2(t) 0,说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将 接近于零. 则x1(t) 0,同时也导致x2(t) 0,说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率 , 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.
